这一次，真正理解回溯算法

Posted 2021-12-17 JavaEdge.

理解“回溯算法”

若人生可重来，如何才能在岔路口做出最正确选择，让自己的人生“最优”？

贪心算法，在每次面对岔路口的时候，都做出看起来最优的选择，期望这一组选择可以使得我们的人生达到“最优”。但不一定能得到的是最优解。

如何确保得到最优解？

回溯算法很多时候都应用在“搜索”问题：在一组可能解中，搜索期望解。
处理思想，类似枚举搜索：枚举所有解，找到满足期望的解。

为规律枚举所有可能解，避免遗漏、重复，将问题求解过程分为多个阶段。
每个阶段，都要面对一个岔路口，先随意选一条路走，当发现这条路走不通（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

八皇后

8x8的棋盘，往里放8个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。

把这个问题划分成8个阶段，依次将8个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。
放置过程中，不停地检查当前方法，是否满足要求

• 满足
  跳到下一行继续放置棋子
• 不满足
  换种方法尝试

适合递归实现：

0-1背包

经典解法是动态规划，但还有简单但没那么高效的回溯解法。

• 有一背包，背包总承载重量Wkg
• 有n个物品，每个物品重量不等且不可分割
• 期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，求背包中物品的总重量max？

这个背包问题，物品不可分割，要么装要么不装，所以叫0-1背包，就无法通过贪心解决了。

• 对于每个物品来说，都有两种选择，装 or 不装
• 对于n个物品，就有 $2^n$ 种装法，去掉总重量超过Wkg的，从剩下的装法中选择总重量最接近Wkg的
• 但如何才能不重复地穷举出这 $2^n$ 种装法？

这就能回溯，把物品依次排列，整个问题分解为n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择;

• 先对第一个物品进行处理，选择装进去 or 不装进去
• 再递归处理剩下物品

搜索剪枝的技巧：当发现 已选择物品重量 ＞ Wkg，就停止探测剩下物品。

正则表达式

假设正表达式中只包含*、?通配符且现在规定：

• * 匹配任意多个（大于等于0个）任意字符
• ? 匹配0或1个任意字符

如何用回溯算法，判断某给定文本，是否匹配给定的正则表达式？
依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，就直接跟文本的字符进行匹配：

• 相同
  继续往下处理
• 不同
  回溯

遇到特殊字符时，就有多种处理方式，如*有多种匹配方案，可匹配任意个文本串中的字符，先随意选择一种匹配方案，然后继续考察剩下字符：

• 若中途发现无法继续匹配，就回到岔路口，重新选择一种匹配方案，再继续匹配剩下字符。
  

总结

回溯算法思想很简单，大部分都是用来解决广义搜索问题：从一组可能解中，选出一个满足要求的解。

回溯非常适合用递归实现，剪枝是提高回溯效率的一种技巧，无需穷举搜索所有情况。

回溯算法可解决很多问题，如DFS、八皇后、0-1背包、图的着色、旅行商、数独、全排列、正则表达式匹配等。