实验2 递归和分治法(二分查找)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了实验2 递归和分治法(二分查找)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1.递归的基本思想
(1)何为递归?
递归顾名思义就是´递´和´归´

👀所谓的‘递’也就是“向下递去”,这个问题可以分解为若干个且形式相同的子问题,这些子问题可以使用相同的思路来解决。
👀所谓的‘归’也就是“归来的意思”,什么时候归来?所以涉及到了临界点,也就是‘递’中的分解终止条件。

(2)递归的工作原理?

💦根据以上分析可以发现这个流程和栈的工作原理一致,递归调用就是通过栈这种数据结构完成的。整个过程实际上就是一个栈的入栈和出栈问题。然而我们并不需要关心这个栈的实现,这个过程是由系统来完成的。

3)递归的惯性解题思路
递归本质上类似数学中的归纳法,但又有所不同。(递归是从F(n)倒推到F(1),然后在F(1)回溯到F(n);相比于归纳法多了一步。)

void func(mode) {
    if (endCondition)                //临界条件
    {
        constExpression         //处理方法
    } else {
        accumrateExpreesion     //归纳项
        mode = expression         //步进表达式
        func(mode)              //调用本身,递归
    }
}

(4)递归的三要素

💥1、缩小问题规模

👀这个缩小问题规模可以根据归纳法先进行回推,比如让求S(n),我们可以先求当n=1的解决方法,再求n=2时的解决方法…一直归纳到S(n);这样我们就可以推导出关系式S(n)=S(n-1)+?

💥2、明确递归终止条件

👀递归既然有去有回,就必须有一个临界条件,当程序到达这个临界值就必须进行归来;否者就肯定会造成无线递归下去!

💥3、给出递归终止时的处理办法

👀根据上文中阐述的递归的工作原理,递归是通过栈来实现的;当程序到达临界条件时,后续必须进行出栈。了解函数的压栈和出栈过程,函数出栈也就是返回到上一个函数的调用处继续执行。例如求解F(n),递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2),终止条件F(1)=1,F(0)=0;它的流程是每次进行压栈F(n-1)、F(n-2),当达到终止条件时进行函数的出栈,那么返回什么值呢?根据递归的倒数第一步F(2)=F(1)+F(0)所以返回的是F(1)+F(0),也就是1.

2.分治法的基本思想

对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。【简单了说就是“分而治之”】

3.分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
(2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
(3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题

4.解决该问题的步骤
问题:给定N个数据和待查找的数据x,采用二分查找算法来搜索x,输出x在N个数据中的位置
(1)解题思路
取数组中间索引mid=(begin+end)/2,比较待搜索值与中间值,如果待搜索值>中间值,则去中间索引的右边继续搜索,反之去左边;就这样循环下去,直到搜索到该值或者begin<end时终止程序。
(2)分析以上算法思想的弊端
根据它的 int mid = (begin+end)/2 ,我们可以推算二分算法适用于什么场景;
假设一个数组为arr[1,2,3,4,5…,98,99,100] ,我们要找寻1这个值,那么需要几次找到呢?看下面的运行结果

可以看出经历了六次循环调用才找到;如果找value=50,那么一次就能成功!所以这个调用多少次与mid的取值也有很大关系;

5.对二分查找算法进行优化
分析mid=(begin+end)/2,看出begin、end无法做出改变,那么只有对1/2进行改动;mid=begin + (begin+end) / {(value-arr[begin])/(arr[end]-arr[begin])},根据上文中找寻1,我们可以算出mid = 1。
根据上文进行分析,这个插值查找算法是对二分查找算法的改进。mid=begin + (begin+end) / {(value-arr[begin]) / (arr[end]-arr[begin])},这也就是插值查找算法。

  • 优化思路如下:
  •  上述二分思想f = 1 / 2 (f为变化率)
    
  •  将mid随着x值的大小做不断变化  f = (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin])
    
  •  则 mid=f * (begin+end)
    

6.代码与结果展示
(1)非递归方式

    /**
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     * 缺点:对于某种极端的情况需要一直进行搜索(比如1~100这种均衡的情况,如果刚好搜索1这个数,就需要搜索6次【50->25->12->6->3->1】
     */
    public static int binarySearch(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        int mid = (begin + end) / 2;
        while (begin <= end) {
            if (arr[mid] > x) {
                end = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < x) {
                begin = mid + 1;
            } else if (arr[mid] == x){
                return mid;
            }
            mid = (begin + end) / 2;
        }
        return -1;
    }2)插值优化
    /**
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     * 上述方法对于【1~100】这种均衡的极端情况不适用,所以需要进行优化处理
     * 说到底是中间值的取法问题(好的中间值取法能够快速定位的搜索值),所以该二分查找优化的本质上是对中间值取法的优化
     * 优化思路如下:
     *      上述方法f = 1 / 2 (f为变化率)
     *      将mid随着x值的大小做不断变化  f = (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin])
     *      则 mid=begin + f * (begin+end)
     */
    public static int binarySearch2(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        int mid = (begin + end) * (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin]);
        while (begin <= end && x > arr[begin] && x < arr[end]) {
            if (arr[mid] > x) {
                end = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < x) {
                begin = mid + 1;
            } else if (arr[mid] == x) {
                return mid;
            }
            mid = begin + (begin + end) * (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin]);
        }
        return -1;
    }3)递归方式
    /**
     * mid = (begin + end) / 2
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     */
    public static int binarySearch3(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        if (begin > end) {
            return -1;
        }
        int mid = (begin + end) / 2;
        if (arr[mid] > x) {
            return binarySearch3(arr, begin, mid - 1, x);
        } else if (arr[mid] < x) {
            return binarySearch3(arr, mid +  1, end, x);
        } else {
            return mid;
        }
}

(4)插值优化

    /**
     * int mid = begin + (begin + end) * [(x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin])];
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     */
    public static int binarySearch4(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        if (begin > end || x < arr[begin] || x > arr[end]) {
            return  -1;
        }
        int mid = begin + (begin + end) * (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin]);
        if (arr[mid] > x) {
            return binarySearch4(arr, begin, mid - 1, x);
        } else if (arr[mid] < x) {
            return binarySearch4(arr, mid + 1, end, x);
        } else {
            return mid;
        }
}

7.测试结果

待搜索数组:int[] arr = {1, 3, 4, 5, 8, 11, 23, 77};

当搜索x = 3时,结果如下

当搜索x = -11时,结果如下

当搜索x = 156时,结果如下

当搜索x =77时,结果如下

以上是关于实验2 递归和分治法(二分查找)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

分治法应用之二分查找 快速排序递归排序

二分查找算法

C/C++ 分治算法(二分查找算法递归实现)

C/C++ 分治算法(二分查找算法递归实现)

递归迭代和分治:分治与二分查找

分治算法----折半查找----递归二分算法