实验2 递归和分治法（二分查找）

Posted 2021-12-12 Roninaxious

1.递归的基本思想
（1）何为递归？
递归顾名思义就是´递´和´归´

👀所谓的‘递’也就是“向下递去”，这个问题可以分解为若干个且形式相同的子问题，这些子问题可以使用相同的思路来解决。
👀所谓的‘归’也就是“归来的意思”，什么时候归来？所以涉及到了临界点，也就是‘递’中的分解终止条件。

（2）递归的工作原理？

💦根据以上分析可以发现这个流程和栈的工作原理一致，递归调用就是通过栈这种数据结构完成的。整个过程实际上就是一个栈的入栈和出栈问题。然而我们并不需要关心这个栈的实现，这个过程是由系统来完成的。

（3）递归的惯性解题思路
递归本质上类似数学中的归纳法，但又有所不同。（递归是从F(n)倒推到F(1),然后在F(1)回溯到F(n)；相比于归纳法多了一步。）

void func(mode) {
    if (endCondition)                //临界条件
    {
        constExpression         //处理方法
    } else {
        accumrateExpreesion     //归纳项
        mode = expression         //步进表达式
        func(mode)              //调用本身，递归
    }
}

（4）递归的三要素

💥1、缩小问题规模

👀这个缩小问题规模可以根据归纳法先进行回推，比如让求S(n),我们可以先求当n=1的解决方法，再求n=2时的解决方法…一直归纳到S(n)；这样我们就可以推导出关系式S(n)=S(n-1)+?

💥2、明确递归终止条件

👀递归既然有去有回，就必须有一个临界条件，当程序到达这个临界值就必须进行归来；否者就肯定会造成无线递归下去！

💥3、给出递归终止时的处理办法

👀根据上文中阐述的递归的工作原理，递归是通过栈来实现的；当程序到达临界条件时，后续必须进行出栈。了解函数的压栈和出栈过程，函数出栈也就是返回到上一个函数的调用处继续执行。例如求解F(n)，递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，终止条件F(1)=1，F(0)=0；它的流程是每次进行压栈F(n-1)、F(n-2)，当达到终止条件时进行函数的出栈，那么返回什么值呢？根据递归的倒数第一步F(2)=F(1)+F(0)所以返回的是F(1)+F(0),也就是1.

2.分治法的基本思想

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。【简单了说就是“分而治之”】

3.分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

4.解决该问题的步骤
问题：给定N个数据和待查找的数据x，采用二分查找算法来搜索x，输出x在N个数据中的位置
（1）解题思路
取数组中间索引mid=(begin+end)/2，比较待搜索值与中间值，如果待搜索值>中间值，则去中间索引的右边继续搜索，反之去左边；就这样循环下去，直到搜索到该值或者begin<end时终止程序。
（2）分析以上算法思想的弊端
根据它的 int mid = (begin+end)/2 ，我们可以推算二分算法适用于什么场景；
假设一个数组为arr[1,2,3,4,5…,98,99,100] ，我们要找寻1这个值，那么需要几次找到呢？看下面的运行结果

可以看出经历了六次循环调用才找到；如果找value=50,那么一次就能成功！所以这个调用多少次与mid的取值也有很大关系；

5.对二分查找算法进行优化
分析mid=(begin+end)/2，看出begin、end无法做出改变，那么只有对1/2进行改动；mid=begin + (begin+end) / {(value-arr[begin])/(arr[end]-arr[begin])}，根据上文中找寻1，我们可以算出mid = 1。
根据上文进行分析，这个插值查找算法是对二分查找算法的改进。mid=begin + (begin+end) / {(value-arr[begin]) / (arr[end]-arr[begin])}，这也就是插值查找算法。

• 优化思路如下：

•  上述二分思想f = 1 / 2 （f为变化率)
  

•  将mid随着x值的大小做不断变化  f = (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin])
  

•  则 mid=f * (begin+end)
  

6.代码与结果展示
（1）非递归方式

    /**
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     * 缺点：对于某种极端的情况需要一直进行搜索（比如1~100这种均衡的情况，如果刚好搜索1这个数，就需要搜索6次【50->25->12->6->3->1】
     */
    public static int binarySearch(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        int mid = (begin + end) / 2;
        while (begin <= end) {
            if (arr[mid] > x) {
                end = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < x) {
                begin = mid + 1;
            } else if (arr[mid] == x){
                return mid;
            }
            mid = (begin + end) / 2;
        }
        return -1;
    }
（2）插值优化
    /**
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     * 上述方法对于【1~100】这种均衡的极端情况不适用，所以需要进行优化处理
     * 说到底是中间值的取法问题（好的中间值取法能够快速定位的搜索值），所以该二分查找优化的本质上是对中间值取法的优化
     * 优化思路如下：
     *      上述方法f = 1 / 2 （f为变化率)
     *      将mid随着x值的大小做不断变化  f = (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin])
     *      则 mid=begin + f * (begin+end)
     */
    public static int binarySearch2(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        int mid = (begin + end) * (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin]);
        while (begin <= end && x > arr[begin] && x < arr[end]) {
            if (arr[mid] > x) {
                end = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < x) {
                begin = mid + 1;
            } else if (arr[mid] == x) {
                return mid;
            }
            mid = begin + (begin + end) * (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin]);
        }
        return -1;
    }
（3）递归方式
    /**
     * mid = (begin + end) / 2
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     */
    public static int binarySearch3(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        if (begin > end) {
            return -1;
        }
        int mid = (begin + end) / 2;
        if (arr[mid] > x) {
            return binarySearch3(arr, begin, mid - 1, x);
        } else if (arr[mid] < x) {
            return binarySearch3(arr, mid +  1, end, x);
        } else {
            return mid;
        }
}

（4）插值优化

    /**
     * int mid = begin + (begin + end) * [(x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin])];
     * @param arr 待搜索数组
     * @param begin 头索引
     * @param end   尾索引
     * @param x     待搜索值
     * @return      对应的下标
     */
    public static int binarySearch4(int[] arr, int begin, int end, int x) {
        if (begin > end || x < arr[begin] || x > arr[end]) {
            return  -1;
        }
        int mid = begin + (begin + end) * (x - arr[begin]) / (arr[end] - arr[begin]);
        if (arr[mid] > x) {
            return binarySearch4(arr, begin, mid - 1, x);
        } else if (arr[mid] < x) {
            return binarySearch4(arr, mid + 1, end, x);
        } else {
            return mid;
        }
}

7.测试结果

待搜索数组：int[] arr = {1, 3, 4, 5, 8, 11, 23, 77};

当搜索x = 3时，结果如下

当搜索x = -11时，结果如下

当搜索x = 156时，结果如下

当搜索x =77时，结果如下