CodeForces - 1579G Minimal Coverage(dp)

Posted 2021-12-09 Frozen_Guardian

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题目大意：给出 $n$ 个长度不同的木棍。设第 $i-1$ 次放置木棍后的终点为 $x$，那么第 $i$ 个木棍有且仅有两种放置方法：

1. 放到 $[x+1,x+a[i]]$，终点变为 $x+a[i]$
2. 放到 $[x-a[i],x-1]$，终点变为 $x-a[i]$

问如何放置可以使得被覆盖的端点数最少

题目分析：读懂题后不难想到 $2^n$ 去暴力枚举，进而想到要用 $dp$ 优化求解。

所以可以大胆设置 $dp[i][j]$ 为放置了前 $i$ 个木棍后，终点为 $j$ 时的答案（最少的被覆盖的端点数量）。思考过后发现，因为每根木棍的长度最大是 $1000$，所以 $j\in [-1000,1000]$。

还有一个问题就是如何计算转移过程中的答案。如果覆盖的区间为 $[l,r]$，其中 $l$ 和 $r$ 都不等于 $0$ 的话，状态转移起来将非常困难。

看了题解后，意识到我们只需要关心相对位置即可，如果 $[l,r]$ 都不等于 $0$ 的话，偏移一下就好啦。

将 $dp$ 方程的定义重新改为：放置了前 $i$ 个木棍后，终点距离左端点的距离为 $j$ 时的答案。

代码：

// Problem: G. Minimal Coverage
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #744 (Div. 3)
// URL: https://codeforces.com/contest/1579/problem/G
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e4+100;
const int M=2e3+100;
int a[N];
int dp[N][M];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n;
		read(n);
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			read(a[i]);
			memset(dp[i],inf,sizeof(dp[i]));
		}
		dp[1][a[1]]=a[1];
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			for(int j=0;j<M;j++) {
				//[j+1,j+a[i]]
				if(j+a[i]<M) {
					dp[i][j+a[i]]=min(dp[i][j+a[i]],max(dp[i-1][j],j+a[i]));
				}
				//[j-a[i],j-1]
				if(j-a[i]>=0) {
					dp[i][j-a[i]]=min(dp[i][j-a[i]],dp[i-1][j]);
				} else {
					dp[i][0]=min(dp[i][0],a[i]-j+dp[i-1][j]);
				}
			}
		}
		cout<<*min_element(dp[n],dp[n]+M)<<endl;
	}
	return 0;
}