树形DP联合权值

Posted 2021-12-09 行码棋

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原题链接

题意：
一个n个点n-1条边的连通图，图中距离为2的点对$(u,v)$会产生$w_u\ast w_v$的联合权值，求图中所有的点对的联合权值的最大值和所有联合权值的和（和要对10007取模）

首先注意只让对和取模了，对最大值没有让取模，所以要注意最大值不能取模
最大值权值就是最大节点权值乘上次大节点权值

思路一：

首先对距离为2进行入手，可以发现，完全可以枚举，枚举每个点，然后遍历与该点相连的点，对所有的点进行计算就行。这里牵扯到一个计算几个数之间的两两相乘的方法，我也是不知道，做了这道题就知道了

比如 $ABCD$四个值，我们需要计算两两相乘的和
我们只需要从前往后遍历
求一个前缀和sum，用前缀和乘上当前遍历的值，注意顺序为：先求前缀和，再乘上当前值
过程如下：

res = 0
sum = A

res = res + sum * B = A * B
sum = A + B

res = res + sum * C = A * B + (A + B ) * C 
sum = A + B + C

res = res + sum * D = A * B + A * C + B * C + (A + B + C) * D
sum = A + B + C + D 

所以这就很好记录结果了

！！！注意啊 ！！！
建图一定要注意为双向图呀，边的个数最大为2* N个，我就是因为这损失了好长的查bug的时间

思路二：

还是利用遍历的思想，我们使用dfs进行遍历，从随便地一个节点开始即可。
但是我们换了一个统计结果的思路：这个思路还是很巧妙的，我也是没想到

两两之间的乘积我们可以利用数学方法进行推导
$2ab=(a+b{)}^2-(a^2+b^2)$
$2(ab+ac+bc)=(a+b+c{)}^2-(a^2+b^2+c^2)$
一般而言，可以得
两两之间的乘积 = 所有值的和的平方 - 所有值平方的和

然后我们就利用上述的思路进行求解，使用dfs，只能向子节点遍历，但是父节点的信息也需要统计上

！！！注意啊！！！

我们统计结果的时候出现了减法的操作，而且减法的两个操作数都有取模运算，可能存在一种结果，前面的数取模之后小于后面取模之后的数，最后结果可能为负数，所以我们要对结果加上一个模数然后再取模

思路一代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
const int mod = 10007;

int h[N],e[N*2],ne[N*2],idx;
int n,w[N],mx,res;

void add(int a,int b)
{
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	memset(h,-1,sizeof h);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
	
	for(int u=1;u<=n;u++)
	{
		int fmx = 0,smx = 0,sum = 0; 
		for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
		{
			int v = e[i];
			
			if(w[v]>=fmx) smx = fmx,fmx = w[v];
			else if(w[v]>smx) smx = w[v];
			
			res = (res + sum * w[v]) % mod;
			sum = (sum + w[v]) % mod;
		}
		mx = max(mx,fmx * smx);
	}
	printf("%d %d\\n",mx,(res*2)%mod);
	return 0;
}

思路二代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5,M = 2*N;
const int mod = 10007;

int h[N],e[M],ne[M],idx;
int w[N],n;
int mx,res;

void add(int a,int b)
{
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u,int p)
{
	int sum = 0,fmx = 0,smx = 0,ans = 0;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
	{
		int v = e[i];
		if(v!=p) dfs(v,u);
		
		if(w[v]>=fmx) smx = fmx,fmx = w[v];
		else if(w[v]>smx) smx = w[v];
		
		sum  = (sum + w[v]) % mod;
		ans = (ans + w[v] * w[v]) % mod;
	}
	mx = max(mx,fmx * smx);
	res = (res + sum * sum % mod - ans ) %mod;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	memset(h,-1,sizeof h);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
		
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
	
	dfs(1,-1);
	printf("%d %d\\n",mx,(res+mod)%mod);
	return 0;
}

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