2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛(秋季赛)- 占座位(最小割)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛(秋季赛)- 占座位(最小割)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目大意:给出一个 n ∗ m n*m nm 的矩阵,每个格子都有两个权值 a a a b b b,分别代表花费和收益。一个格子被占,当且仅当:

  1. 格子上有人
  2. 格子的上下左右都有人

格子被占可以获得收益 b b b,格子上有人需要花费 a a a,问如何分配可以使得收益最高。

题目分析:很经典,但我不会的一个模型。

拆点最小割,首先棋盘问题不难想到奇偶拆点,在此基础上将每个点再拆一下用来维护 b b b,再加点无穷大的边用来调和 a a a

上图中 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 是奇数点的入点和出点, y 1 y_1 y1 y 2 y_2 y2 是偶数点的入点和出点。

那么此时最小割就只有三种情况:

  1. 割掉 s t − x 1 st-x_1 stx1:选择点 x x x
  2. 割掉 y 2 − e d y_2-ed y2ed:选择点 y y y
  3. 割掉 x 1 − x 2 x_1-x_2 x1x2 y 1 − y 2 y_1-y_2 y1y2:两个点都不选

不难看出,上述三种情况实质上对应着本题的两个条件,也就是对于某个点,获得 b b b 时的两种情况:

  1. 割掉某个点本身的 a a a
  2. 割掉某个点四周的 a a a

所以最后用 ∑ b \\sum b b 减去最小割就是最大的答案了。

代码:

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=4100;
template<typename T>
struct Dinic
{
	const static int N=4100;
	const static int M=N*N;
	const T inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	struct Edge
	{
	    int to,next;
	    T w;
	}edge[M];//边数
	  
	int head[N],cnt;
	  
	void addedge(int u,int v,T w)
	{
	    edge[cnt].to=v;
	    edge[cnt].w=w;
	    edge[cnt].next=head[u];
	    head[u]=cnt++;
	    edge[cnt].to=u;
	    edge[cnt].w=0;//反向边边权设置为0
	    edge[cnt].next=head[v];
	    head[v]=cnt++;
	}
	  
	int d[N],now[N];//深度 当前弧优化
	  
	bool bfs(int s,int t)//寻找增广路
	{
	    memset(d,0,sizeof(d));
	    queue<int>q;
	    q.push(s);
	    now[s]=head[s];
	    d[s]=1;
	    while(!q.empty())
	    {
	        int u=q.front();
	        q.pop();
	        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
	        {
	            int v=edge[i].to;
	            T w=edge[i].w;
	            if(d[v])
	                continue;
	            if(!w)
	                continue;
	            d[v]=d[u]+1;
	            now[v]=head[v];
	            q.push(v);
	            if(v==t)
	                return true;
	        }
	    }
	    return false;
	}
	  
	T dinic(int x,int t,T flow)//更新答案
	{
	    if(x==t)
	        return flow;
	    T rest=flow,i;
	    for(i=now[x];i!=-1&&rest;i=edge[i].next)
	    {
	        int v=edge[i].to;
	        T w=edge[i].w;
	        if(w&&d[v]==d[x]+1)
	        {
	            T k=dinic(v,t,min(rest,w));
	            if(!k)
	                d[v]=0;
	            edge[i].w-=k;
	            edge[i^1].w+=k;
	            rest-=k;
	        }
	    }
	    now[x]=i;
	    return flow-rest;
	}
	  
	void init()
	{
	    memset(now,0,sizeof(now));
	    memset(head,-1,sizeof(head));
	    cnt=0;
	}
	  
	T solve(int st,int ed)
	{
	    T ans=0,flow;
	    while(bfs(st,ed))
	        while(flow=dinic(st,ed,inf))
	            ans+=flow;
	    return ans;
	}
};
Dinic<int>t;
const int b[4][2]={0,1,0,-1,1,0,-1,0};
int id[50][50][2],tot;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	t.init();
	int n,m,st=N-1,ed=st-1,sum=0;
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			for(int k=0;k<2;k++) {
				id[i][j][k]=++tot;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			int a;
			read(a);
			if((i+j)&1) t.addedge(st,id[i][j][0],a);
			else t.addedge(id[i][j][1],ed,a);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			int b;
			read(b);
			t.addedge(id[i][j][0],id[i][j][1],b);
			sum+=b;
		}
	}
	for(int x=1;x<=n;x++) {
		for(int y=1;y<=m;y++) {
			if((x+y)&1) {
				for(int k=0;k<4;k++) {
					int xx=x+b[k][0],yy=y+b[k][1];
					if(xx<=0||xx>n||yy<=0||yy>m) continue;
					for(int i=0;i<2;i++) t.addedge(id[x][y][i],id[xx][yy][i],inf);
				}
			}
		}
	}
	cout<<sum-t.solve(st,ed)<<endl;
	return 0;
}

以上是关于2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛(秋季赛)- 占座位(最小割)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛(冬季赛)-正式赛 部分题解

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