2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛（秋季赛）- 占座位（最小割）

Posted 2022-01-19 Frozen_Guardian

题目大意：给出一个 $n\ast m$ 的矩阵，每个格子都有两个权值 $a$ 和 $b$，分别代表花费和收益。一个格子被占，当且仅当：

1. 格子上有人
2. 格子的上下左右都有人

格子被占可以获得收益 $b$，格子上有人需要花费 $a$，问如何分配可以使得收益最高。

题目分析：很经典，但我不会的一个模型。

拆点最小割，首先棋盘问题不难想到奇偶拆点，在此基础上将每个点再拆一下用来维护 $b$，再加点无穷大的边用来调和 $a$：

上图中 $x_1$ 和 $x_2$ 是奇数点的入点和出点， $y_1$ 和 $y_2$ 是偶数点的入点和出点。

那么此时最小割就只有三种情况：

1. 割掉 $st-x_1$：选择点 $x$
2. 割掉 $y_2-ed$：选择点 $y$
3. 割掉 $x_1-x_2$ 和 $y_1-y_2$：两个点都不选

不难看出，上述三种情况实质上对应着本题的两个条件，也就是对于某个点，获得 $b$ 时的两种情况：

1. 割掉某个点本身的 $a$
2. 割掉某个点四周的 $a$

所以最后用 $\sum b$ 减去最小割就是最大的答案了。

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)

	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch))if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;

template<typename T>
inline void write(T x)

	if(x<0)x=~(x-1);putchar('-');
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');

const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=4100;
template<typename T>
struct Dinic

	const static int N=4100;
	const static int M=N*N;
	const T inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	struct Edge
	
	    int to,next;
	    T w;
	edge[M];//边数
	  
	int head[N],cnt;
	  
	void addedge(int u,int v,T w)
	
	    edge[cnt].to=v;
	    edge[cnt].w=w;
	    edge[cnt].next=head[u];
	    head[u]=cnt++;
	    edge[cnt].to=u;
	    edge[cnt].w=0;//反向边边权设置为0
	    edge[cnt].next=head[v];
	    head[v]=cnt++;
	
	  
	int d[N],now[N];//深度 当前弧优化
	  
	bool bfs(int s,int t)//寻找增广路
	
	    memset(d,0,sizeof(d));
	    queue<int>q;
	    q.push(s);
	    now[s]=head[s];
	    d[s]=1;
	    while(!q.empty())
	    
	        int u=q.front();
	        q.pop();
	        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
	        
	            int v=edge[i].to;
	            T w=edge[i].w;
	            if(d[v])
	                continue;
	            if(!w)
	                continue;
	            d[v]=d[u]+1;
	            now[v]=head[v];
	            q.push(v);
	            if(v==t)
	                return true;
	        
	    
	    return false;
	
	  
	T dinic(int x,int t,T flow)//更新答案
	
	    if(x==t)
	        return flow;
	    T rest=flow,i;
	    for(i=now[x];i!=-1&&rest;i=edge[i].next)
	    
	        int v=edge[i].to;
	        T w=edge[i].w;
	        if(w&&d[v]==d[x]+1)
	        
	            T k=dinic(v,t,min(rest,w));
	            if(!k)
	                d[v]=0;
	            edge[i].w-=k;
	            edge[i^1].w+=k;
	            rest-=k;
	        
	    
	    now[x]=i;
	    return flow-rest;
	
	  
	void init()
	
	    memset(now,0,sizeof(now));
	    memset(head,-1,sizeof(head));
	    cnt=0;
	
	  
	T solve(int st,int ed)
	
	    T ans=0,flow;
	    while(bfs(st,ed))
	        while(flow=dinic(st,ed,inf))
	            ans+=flow;
	    return ans;
	
;
Dinic<int>t;
const int b[4][2]=0,1,0,-1,1,0,-1,0;
int id[50][50][2],tot;
int main()

#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	t.init();
	int n,m,st=N-1,ed=st-1,sum=0;
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=m;j++) 
			for(int k=0;k<2;k++) 
				id[i][j][k]=++tot;
			
		
	
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=m;j++) 
			int a;
			read(a);
			if((i+j)&1) t.addedge(st,id[i][j][0],a);
			else t.addedge(id[i][j][1],ed,a);
		
	
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=m;j++) 
			int b;
			read(b);
			t.addedge(id[i][j][0],id[i][j][1],b);
			sum+=b;
		
	
	for(int x=1;x<=n;x++) 
		for(int y=1;y<=m;y++) 
			if((x+y)&1) 
				for(int k=0;k<4;k++) 
					int xx=x+b[k][0],yy=y+b[k][1];
					if(xx<=0||xx>n||yy<=0||yy>m) continue;
					for(int i=0;i<2;i++) t.addedge(id[x][y][i],id[xx][yy][i],inf);
				
			
		
	
	cout<<sum-t.solve(st,ed)<<endl;
	return 0;