求两个正整数的最大公因数和最小公倍数

Posted 2021-11-22 fucktheperfect

求两个正整数的最大公因数和最小公倍数

• 两个正整数最大公因数和最小公倍数的关系
• 更相减损术
• • 原理：
  • 代码实现：
• 辗转相除法
• • 原理：
  • 代码实现：
• 穷举法
• • 原理：
  • 代码实现：
• Stein算法
• • 原理：
  • • 两数都为偶数
    • 两数一奇一偶
    • 两数都为奇数
  • 代码实现：

今天做作业做到了一道求解两个数最大公因数的题，突然想总结一下求解的思路（目前为止自己知道的），那就开始吧。

两个正整数最大公因数和最小公倍数的关系

最小公倍数除以最大公因数等于两数之积
直接上图：

因此我们只要会求两个数的最大公因数，就可以很容易得到最小公倍数了，因此接下来我们主要求两个数的最大公因数

更相减损术

原理：

对于两个数91、168，设它们的最大公因数为m，则91，168都能被m整除（整除，即91%m==0），168-91=77，所以168可以写成91+77，91可以被m整除，所以77也能被m整除，因此可以转换为求91和77的最大公因数，再把91写成77+14，说明14也能被m整除，转换为求14和77的最大公因数，这样一直下去，最后转换为求14和7的最大公因数，再把14写成7+7，也就是求7和7的最大公因数，那就是7咯，写成算式就是：
168-91=77
91-77=14
77-14=63
63-14=49
49-14=35
35-14=21
21-14=7
14-7=7

代码实现：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int m, n;
	scanf("%d%d", &m, &n);
	int tmp = 0;//创建一个临时变量，用作m，n交换时的中间变量
	while (n)
	{
		if (m < n)//如果m<n，交换两个数的值
		{
			tmp = m;
			m = n;
			n = tmp;
		}
		n = m - n;
		m = m - n;
	}
	printf("%d", m);
}

结合着图片看，就会发现先令n=m-n，再令m=m-n，就相当于把m-n的值赋给n，把原来n的值赋给m，也就和我们上面的算式对应起来了

辗转相除法

原理：

辗转相除法原理与更相减损术原理相似，给定两个数168和91，168%91=77，就相当于168减去了一倍的91，91%77=14，就相当于91减去了一倍的77，77%14=7，相当于减去了5倍的14，相当于把五步和为一步！14%7=0，就说明最终结果就是7，结合上面更相减损数的转换思路理解！

代码实现：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int m, n,tmp=0;
	scanf("%d%d", &m, &n);
	while (n > 0)
	{
		tmp= m % n;
		m = n;
		n = tmp;
	}
	printf("%d", m);
	return 0;
}

这种方法与上面的方法原理相似，理解了上面的这个就不算难理解，而且这个算法会节约一些时间，但是为什么这里不需要判断m<n的特殊情况？因为当m<n时，tmp=m%n就相当于tmp=m,而再加上m=n，n=tmp，就相当于交换了m，n的值

穷举法

原理：

对于两个数m，n的最大公因数，一定小于等于m，n中较小的那一个，我们只需从m，n中较小的数开始循环，找到第一个能整除m和n的那个数，即为最大公因数

代码实现：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int m, n;
	scanf("%d%d", &m, &n);
	int min = m > n ? m : n;//复习一下三目操作符
	int i = 0;
	for ( i = min; i >= 1; i--)
	{
		if (m % i == 0 && n % i == 0)
		{
			break;//一旦找到公因数就跳出循环，即为最大公因数
		}
	}
	printf("%d", i);
}

Stein算法

原理：

大事化小
首先引进一个符号：gcd是greatest common divisor（最大公约数）的缩写，gcd( x,y ) 表示x和y的最大公约数。根据x，y的奇偶性我们可以进行转换。
下面三种情况中x，y均为奇数

两数都为偶数

则gcd( 2x , 2y )=gcd( x , y )*2
这个很容易明白

两数一奇一偶

y为奇数，所以y的所有因数都是奇数，所以二者的公因数也只能是奇数，所以gcd( 2x, y )=gcd( x , y )

两数都为奇数

这种情况乍一看没什么可以化小的方法，但是两个奇数的和、差都为偶数，这又引起我们的遐想！假设x>y

所以我们得到gcd( x,y )=gcd( (x+y)/2 ,(x-y)/2 )

那么接下来我们就可以把一个gcd( x , y )根据不同的情况化小，以求得答案

代码实现：

x&1表示x与1进行位运算，如果x&1=1，则x为奇数（建议复习一下&运算）

int Stein(int x,int y)
{
    int m= 0,tmp=0;
    if(x<y)
    {
        tmp=y;
        y=x;
        x=tmp;
    }
    while(x!=y)
    {
        if(x&1)
        {
            if(y&1)//x,y同为奇数时
            {
                y = (x-y)>>1;//右移一位，即y=(x-y)/2
                x -= y;//即x=x-y
            }
            else//x为奇数，y为偶数时,这里x本就大于y，y/2后也必定大于y
            {
                y>>=1;//即y=y/2
            }
        }
        else
        {
            if(y&1)//x为偶数，y为奇数
            {
                x>>=1;
                if(x<y) //虽然x>y，但x/2后有可能小于y，再判断一次
                {
                    tmp=y;
                    y=x;
                    x=tmp;
                }
            }
            else//x,y都为偶数
            {
                x>>=1;
                y>>=1;
                m++;
            }
        }
    }
    return x<<m;//因为x，y同除以2后，最大公因数变为原来的一半，所以返回最大公因数时应该乘回来，而其它情况下x，y变化，最大公因数不变
}
int main()
{
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    int gcd= Stein(x,y);//接收最大公因数
    printf("%d\\n",gcd);
    return 0;
}

比如说我们代入168和91：

这其实和我们的递归思想有些相似，实际上这种算法也有递归写法，你可以试试哦！