博弈论（Game Theory）入门学习笔记（持续更新）

Posted 2021-10-11 Mr.Shelby

博弈论（Game Theory）入门学习笔记（持续更新）

• • • 课程介绍
    • 1-1 Taste-Backoff
    • 1-2 Self-Interested Agents and Utility Theory
    • 1-3 Define
    • 1-4 Examples
    • 1-5 Nash Equilibrium Intro
    • 1-6 Strategic Reasoning
    • 1-7 Best Response and Nash Equilibrium
    • 1-8 Nash Equilibrium of Example Games
    • 1-9 Dominant Strategies
    • 1-10 Pareto Optimality
    • 2-1 Mixed Strategies and Nash Equilibrium Taste
    • 2-2 Mixed Strategies and Nash Equilibrium
    • 2-3 Computing Mixed Nash Equilibrium
    • 2-4 Hardness Beyond 2x2 Games
    • 2-5 Example: Mixed Strategy Nash
    • 2-7 Data：Professional Sports and Mixed Strategies
    • 3-1 Beyond the Nash Equilibrium
    • 3-2 Strictly Dominated Strategies & Iterative Removal
    • 3-3 Dominated Strategies & Iterative Removal:An Application
    • 3-4 Maxmin Strategies
    • 3-5 Maxmin Strategies
    • 3-5 Correlated Equilibrium：Intuition
    • 4-1 Perfect Information Extensive Form:Taste
    • 4-2 Formalizing Perfect Information Extensive Form Games
    • 4-3 Perfect Information Extensive Form：Strategies,BR,NE
    • 4-4 Subgame Perfection

课程介绍

• 博弈论,又称对策论,是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论,是研究竞争的逻辑和规律的数学分支。

1-1 Taste-Backoff

• 以一个经典案例引出博弈论
• TCP Backoff Game
  两台电脑之间想要实现通信，两种方式可供选择，建立回退机制以及不建立回退机制。如果AB双方均建立回退机制，则双方延迟都是1。如果A、B一方建立回退机制，另一方不建立，那么建立的一方延迟是4，不建立的一方延迟是0。如果双方都不建立回退机制，则双方延迟都是3。
  
• 该问题的结果有一特点，即自己做出决策的收益不仅跟自己的决策有关，还跟对方的决策有关。因此存在一种“博弈”竞争关系。

1-2 Self-Interested Agents and Utility Theory

• Self-Interested Agents：利己代理
  并不是说决策者只考虑自己或者伤害他人，而是指决策者对于世界状态有自己的独特看法，并且根据自己的判断理解做出决策。
• Utility Theory ：效用理论
  每个决策者都有自己的效用函数，表达了决策者对于决策的偏好，决策者做出决策都是为了最大化效用期望。

1-3 Define

• Key Ingredients 关键组成
  Players：决策者。执行决策的人。
  Actions：动作。决策者可以做的事情。
  Payoffs：回报。激励决策者的东西，决策带来的回报。

• Two Standard Representations 两种标准表达方式
  Normal Form：分别定义Players、Actions、Payoffs。
  Extensive Form：扩展定义Timing、Information。

• 简单的博弈论问题可以使用矩阵表达，如1-1所示。

• 复杂问题无法用矩阵表达，如经典的造反问题。共有10000000个人，每个人可以选择造反或者不造反，只有达到2000000个人才算造反成功。如果造反达到人数要求，无论决策者选择什么收益都是1；如果造反没有达到人数要求，则决策者选择造反的收益是-1；如果造反没有达到人数要求，则决策者选择不造反的收益是0。
  Players： N = { 1 , . . . , 10 , 000 , 000 } N=\\{1,...,10,000,000\\} N={1,...,10,000,000}
  Actions Set for player $i$： A i = { R e v o l t , N o t } A_i=\\{Revolt,Not\\} Ai​={Revolt,Not}
  Utility Function for player $i$：
  （1） u i ( a i ) = 1   i f { j : a j = R e v o l t } > = 2 , 000 , 000 u_i(a_i)=1 \\space if \\{j:a_j=Revolt\\}>=2,000,000 ui​(ai​)=1 if{j:aj​=Revolt}>=2,000,000
  （2） u i ( a i ) = − 1   i f { j : a j = R e v o l t } < 2 , 000 , 000   a n d   a i = R e v o l t u_i(a_i)=-1 \\space if \\{j:a_j=Revolt\\}<2,000,000 \\space and \\space a_i=Revolt ui​(ai​)=−1 if{j:aj​=Revolt}<2,000,000 and ai​=Revolt
  （3） u i ( a i ) = − 0   i f { j : a j = R e v o l t } < 2 , 000 , 000   a n d   a i = N o t u_i(a_i)=-0 \\space if \\{j:a_j=Revolt\\}<2,000,000 \\space and \\space a_i=Not ui​(ai​)=−0 if{j:aj​=Revolt}<2,000,000 and ai​=Not

1-4 Examples

• 囚徒困境 Prisoner’s dilemma。故事背景：两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢一年；若一人揭发，而另一人沉默，则揭发者因为立功而立即获释，沉默者因不合作而入狱十年；若互相揭发，则因证据确凿，二者都判刑八年。由于囚徒无法信任对方，因此倾向于互相揭发，而不是同守沉默。
  结果的优劣程度按照A>B>C>D排序。
  

• Game of Pure Competition 纯竞争博弈
  博弈的双方具有完全对立的利益。
  对于双方任意动作组合，其效用之和永远为一个常数。$\forall a\in A,u_1(a)+u_2(a)=c$
  特殊类型：零和博弈。双方效用之和永远为0。
  举例说明：石头剪刀布游戏。
  

• Games of Cooperation 合作博弈
  博弈的多方具有相同的利益，利益之间不存在冲突。$\forall a\in A,\forall i,j,u_i(a)=u_j(a)$
  举例说明：过马路问题。马路两头两个人想同时通行，每个人可以选择靠左或者靠右行驶。
  

1-5 Nash Equilibrium Intro

• Keynes Beauty Contest Game：凯恩斯选美博弈
  举办选美大赛，从1-100号候选者中选择自己认为最美的一位，获得票数最多的人获得选美冠军，投票给选美冠军的人也会得到一定的奖励。这个问题是老千层饼了，第一层的人只是自己觉得谁漂亮就选谁，比如A觉得10号最美投票给了10号；第二层的人考虑其他人的投票分布从而产生自己的决策，比如B觉得可能有很多人投票给30号，虽然自己喜欢10号也投票给30号；第三层的人觉得其他人可能也会因为考虑到第二层的因素，从而放弃自己最喜欢的转投自己认为最火爆的…这是一个无休止的猜想游戏。
• 猜数字游戏
  每个人从1-100中选择一个整数，最后最接近平均值三分之二的人获得奖励，假设参加这项游戏的人数足够多。这个问题同样是一个千层饼问题。
  第一层的人：参赛人数足够多，我假设大家所选择的数字均匀分布，那么最后的平均值应该接近于50。那么我为了获胜应该选择的数字是$50\ast \frac{2}{3}=33$。
  第二层的人：我想大部分人都在第一层，因此他们都选择33。那么最后的平均值应该接近于33。那么我为了获胜应该选择的数字是$33\ast \frac{2}{3}=22$。
  第三层的人：$22\ast \frac{2}{3}=11$。
  …
  第n层的人：应该选择的数是0。这就得到了纳什均衡。
  美国进行过一项调查，其中2%选择了66（没读懂题的笨蛋）、5%的选择了50（第一层）、10%的选择了33（第二层）、6%选择了22（第三层）、12%的选择了0或者1（思考到了最后）。但最后的结果平均值为19，第三层左右的人获得了最终的胜利。
• 以上两个故事告诉我们，在投资问题或者博弈问题中，我们的层数不可太高也不可太低。太低是傻子，太高聪明反被聪明误。

1-6 Strategic Reasoning

• 在其他人的决策确定的情况下，每一个决策者都是为了最大化个人的收获效用来做出决策。
• 一旦纳什均衡建立，没有人可以通过改变决策跳出均衡而获利受益。
• 如果某些决策者通过改变决策跳出均衡可以获利受益，那么说明纳什均衡还没有真正建立。
• 纳什均衡是一个稳定的状态，但并不是一个最优的获利状态。

1-7 Best Response and Nash Equilibrium

• Best Response 最优响应
  如果知道其他所有人的动作，那么挑选对于自己最有利的动作就变得十分简单。
  $a_i表示第i个决策者所做出的决策$
  a − i = { a 1 , . . . , a i − 1 , a i + 1 , . . . , a n } 表 示 除 去 a i 以 外 其 他 人 的 决 策 a_{-i}=\\{a_1,...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_n\\}表示除去a_i以外其他人的决策 a−i​={a1​,...,ai−1​,ai+1​,...,an​}表示除去ai​以外其他人的决策
  $a=(a_i,a_{-i})$
  $a_i^{\ast }\in BR(a_{-i})iff\forall a_i$