c++/javaNim游戏（博弈论证明）

Posted 2021-10-06 AcWing-leimingze

891.Nim游戏

给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个数字，其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
1≤n≤105,
1≤每堆石子数≤109
输入样例：
2
2 3
输出样例：
Yes
本题思路
公平组合游戏：
若一个游戏满足：

• 由两名玩家交替行动
• 在游戏进行的任意时刻，可以执行合法行动与轮到哪位玩家无关
• 不能行动的玩家判负

eg:围棋不是公平组合游戏
解释必胜状态和必败状态：
必胜状态：先手进行某一特定操作，留给后手的只有失败，对于先手来说是必胜状态
必败状态：先手无论如何操作，留给后手的只有必胜状态，对于先手来说是必败状态
操作步骤
分别有两堆：2，3

• 先手从第二堆拿走一个，此时第二堆与第一堆数目相同
• 无论后手怎么拿，先手对后手镜像操作，即后手与先手操作相同

本题结论
假设n堆石子，分别为a1,a2,a3,……,an，如果a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an≠0，先手必胜，否则先手必败.
最终结果0⊕0⊕0⊕0,……,⊕0=0
结论证明
在操作过程中，如果a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an=x≠0,那么玩家一定会通过拿走某一堆中的石子导致结果变为零。

• 证明：假设x的二进制最高不为0位在第k位，在a1,a2,……an种必有一个ai,ai的第k位为1,使得ai⊕x<ai;
  
  那么从第i堆拿走(ai-ai⊕x)个石子后，第i堆还剩ai-(ai-ai⊕x)=ai⊕x;
  则a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an=x⊕x=0

如果a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an=0，无论怎么先手，都会使得a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an≠0。

• 证明：假设从第i堆拿走一些石子，原有ai个石子，现有ai’个石子，反证法：如果a1⊕ a2⊕ ai’⊕,……,⊕ an=0,则
  （a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an）⊕（a1⊕ a2⊕ ai⊕,……,⊕ an）=ai⊕ai’=0,即ai=ai’，矛盾，所以a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an=0，无论怎么先手，都会使a1⊕ a2⊕ a3⊕,……,⊕ an≠0。
  c++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        res^=x;
    }
    if(res==0)puts("No");
    else puts("Yes");
    return 0;
}

java

import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        int n=scanner.nextInt();
        int res=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int a=scanner.nextInt();
            res^=a;
        }
        System.out.println((res^1)!=0?"Yes":"No");
    }
}