HDU 2516 取石子游戏 斐波纳契博弈

Posted 2020-08-27 声声醉如兰

斐波纳契博弈：

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

 

证明 FBI数为必败局：

1.对于任意一个FBI数 FBI[K]=FBI[K-1]+FBI[K-2]，我们可以将FBI[K]看成石子数目分别是FBI[K-1],FBI[K-2]的两堆(一定可以这样分，因为FBI[K-1] > FBI[K-2]*2，若先手取的数目大于等于FBI[K-2]，则后手可以一次拿完)

2.将FBI[K-2],FBI[K-1]，再次拆分，无论先手如何取，后手总能取走最后一个石子

 

证明 非FBI数为必胜局：

1.由齐肯多夫定理知道，任意一个整数，可以被拆分成几个不连续的FBI数相加的形式：n=FBI(ak)+FBI(ak-1)+FBI(ak-2)+……+FBI(a1)

2.因为式子中的FBI数不连续，所以FBI（a） > 2FBI(a-1)

3.先手取走FBI（a1）个石子，那么后手只能在FBI（a1+1）堆中取，且不能一次性取完。依旧是说对于任意一堆，总是先手取走最后一个石子！

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXSIZE 100005

using namespace std;

int fib[MAXSIZE];

int Game(int n)
{
    for(int i=1;i<=46;i++)
    {
        if(fib[i]==n)
            return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int n;
    fib[1]=1;
    for(int i=2;i<=46;i++)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        int op=Game(n);
        if(op==0)
            printf("Second win\\n");
        else
            printf("First win\\n");
    }
    return 0;
}

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