辗转相除法证明

Posted 2021-10-04 花嵩

文章目录

• 前言
• 补充：
• 辗转法证明
• 总结：

前言

• 博主实力有限，博文有什么错误，望各位大佬，不吝赐教，非常感谢！
• 本文证明 求2数的最大公约数的辗转相除法。

补充：

2数互质：公因数只有1的2个非0自然数，称为互质。

如果 2个数a,b存在最大公约数 c即c=gcd(a,b)，(gcd是最大公约数的意思)

设 a = mc;b =nc;那么 m与n必互质

证明 如果 m，n不互质，那么m = pd;n=qd;可以知道 a= pdc; b= qdc; 因此 cd将会是 a,b的最大公约数，这与c是a，b的最大公约数相矛盾，因此 m，n互质。

辗转法证明

a/b=x…y

a=xb+y;

辗转法就是证明：gcd（a,b）=gcd(b,y);

设 a ，b的最大公约数是 c

a= m c; b=nc;

y= c(m-nx);

我们分析 ： n与 m-nx 发现其互质。

证明：

n = qd；m-nx = pd；

因此 a= cd(qx+p);b =cdq;即 cd是 a,b的最大公约数，这与c是a,b的最大共约数矛盾。

因此 n,m-nx互质，这也说明 c也是 b,y的最大公约数。

因此 gcd(a,b)=gcd(b,y)成立。另外如果 b/y = q…r;

那么 gcd(a,b)= gcd(b,y)=gcd(y,r)…

这也就是 为什么 辗转法要连续执行，直到 商为0.

总结：

补充部分的 m,n互质很关键。
另外，2个数的最大共约数与最小公倍数 之积与2数的之积相同即 ab=pq；