#关于数论某些东西的证明.

Posted 2020-11-16 zzz-hhh

辗转相除法

(gcd(a, b) == gcd(b, a\%b))
证明:
设: (d)为(a)与(b)的一个公约数, 则有(d|b) (d|a)

设: (a = k imes b + r) 则有(r = a \% b)
(r = a - kb) 同除以(d)可得
(r over d) (=) $ a over d$ (-) (kbover d)
又$ ecause d|b , d|a$
( herefore d | r)
即 (d | a\%b), (d)为(a\%b)的一个因数.
又 (ecause d|b)
( herefore d) 为(b)与(a\%b)的一个公约数,
若(d)最大，则(d)为(b)与(a\%b)的最大公约数,
( herefore gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)) 得证

裴蜀定理.

要使(ax + by = m)((a, b in Z)) 有整数解的充要条件是 (m \% gcd(a, b) = 0)
证明：
设(d = gcd(a, b)) 则 (d | a d | b) .
又(ecause x, y) 为整数 ( herefore d | ax + by)
(ecause ax + by = m) ( herefore d | m)
则 (m \% gcd(a, b) = 0).

欧拉定理:

当a 与 p互质的时候则有 (a^{varphi(p)} equiv 1 (mod p))
通项公式及证明：
若(n = p ^ k ,p)为质数,则(varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1})
当一个数不包含质因子(p)时就能与(n)互质，
小于等于(n)的数中包含质因子(p)的只有(p^{k-1}) 个，他们是:
(p, 2*p, 3* p, ...,p ^{k - 1} ?p)，把他们去除即可.

由唯一分解定理可得: (n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k})
则 (varphi (n) = varphi(p_1^{a_1})varphi(p_2^{a_2})varphi(p_3^{a_3})...varphi(p_k^{a_k}))

根据上述(varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1})可得:
$????????????varphi (p) = p^k(1 - $({1}over {p^k}))

则 (varphi (n) = varphi(p_1^{a_1})varphi(p_2^{a_2})varphi(p_3^{a_3})...varphi(p_k^{a_k}))可化为
( varphi (n) = p_1 ^{a_1}(1 - frac {1} {p_1}) p_2 ^{a_2}(1 - frac {1} {p_2})p_3 ^{a_3}(1 - frac {1} {p_3})...p_k ^{a_k}(1 - frac {1} {p_k}))
( = n (1 - frac {1} {p_1})(1 - frac {1} {p_2})(1 - frac {1} {p_3})...(1 - frac {1} {p_k}))

约数个数定理:

(displaystyle prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1))
证明：
由唯一分解定理(n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k})可得:
(n)的约数一定是 (p_1^{x} ... p_k^{z}) (x in [0, a_1] ... z in [0, a_k])
每一个可以取 (a_i +１)种可能.
根据乘法原理约数个数(= (a_1 + 1) ast (a_2 + 1) ast ...ast (a_k + 1)).
即: [displaystyle prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1)]