矢量导数——角速度与矢量的叉乘
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矢量导数——角速度与矢量的叉乘
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矢量叉乘，向量外积
1. 定理
矢量的导数为角速度叉乘以该适量。
这也是角速度的定义。
角速度在一般意义上是一个二阶张量，不过由于这个张量满足某些约束条件，自由的分量个数恰好变成了3个，所以正好可以拼凑成一个三分量矢量。
刚体绕定轴旋转时，角速度矢量的方向垂直于旋转平面，且按右手螺旋法则确定
证明
定义矢量在本体坐标系表示为
r
a
r_a
ra，在旋转坐标系的表示为
r
b
r_b
rb，两个坐标系之间的旋转矩阵为R。则存在
r
a
=
R
r
b
r_a=Rr_b
ra=Rrb
两边求导得到
r
˙
a
=
R
˙
r
b
+
R
r
˙
b
=
R
r
˙
b
+
R
˙
R
−
1
r
a
\\begin{aligned} \\dot{r}_a&=\\dot{R}r_b + R\\dot{r}_b\\\\ &= R\\dot{r}_b + \\dot{R}R^{-1}r_a \\end{aligned}
r˙a=R˙rb+Rr˙b=Rr˙b+R˙R−1ra
由于坐标旋转矩阵为酉矩阵，即
R
−
1
=
R
T
R^{-1}=R^T
R−1=RT，则
r
˙
a
=
R
r
˙
b
+
R
˙
R
T
r
a
\\begin{aligned} \\dot{r}_a&= R\\dot{r}_b + \\dot{R}R^Tr_a \\end{aligned}
r˙a=Rr˙b+R˙RTra
定义相对倒数：
R
r
˙
b
=
d
d
t
r
a
R\\dot{r}_b=\\frac{d}{dt}r_a
Rr˙b=dtdra
表示该矢量在旋转坐标系中的坐标相对时间变化率转到本体坐标系。
引入角速度张量
R
˙
R
T
=
Ω
\\dot{R}R^T=\\Omega
R˙RT=Ω
则可以得到
Ω
T
=
R
R
˙
T
Ω
+
Ω
T
=
d
d
t
(
R
R
T
)
=
d
d
t
(
I
)
=
0
\\begin{aligned} &\\Omega^T=R\\dot{R}^T\\\\ &\\Omega + \\Omega^T=\\frac{d}{dt}(RR^T)=\\frac{d}{dt}(I)=0 \\end{aligned}
ΩT=RR˙TΩ+ΩT=dtd(RRT)=dtd(I)=0
其中
R
R
T
RR^T
RRT基于酉矩阵性质。
同时可以得到
Ω
=
−
Ω
T
\\Omega=-\\Omega^T
Ω=−ΩT
满足这个条件的张量就是所谓的“斜对称矩阵”，在这个约束条件下，角速度张量可以写成
Ω
=
[
0
−
ω
y
ω
z
ω
y
0
−
ω
x
−
ω
z
ω
x
0
]
\\Omega=\\begin{bmatrix}0&-\\omega_y&\\omega_z\\\\\\omega_y&0&-\\omega_x\\\\ -\\omega_z &\\omega_x &0\\end{bmatrix}
Ω=⎣⎡0ωy−ωz−ωy0ωxωz−ωx0⎦⎤
如果把旋转坐标系看成是“固连”在刚体上的坐标系，那么这个定义就是刚体角速度的定义。
现在定义角速度矢量
ω
=
[
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
]
\\omega=[\\omega_x,\\omega_y, \\omega_z]
ω=[ωx,ωy,ωz]
则
Ω
r
a
=
ω
×
r
a
\\Omega r_a = \\omega\\times r_a
Ωra=ω×ra
证明结论部分
因此可以得到
r
˙
a
=
d
d
t
r
a
+
R
˙
R
T
r
a
=
d
d
t
r
a
+
ω
×
r
a
\\begin{aligned} \\dot{r}_a&=\\frac{d}{dt}r_a + \\dot{R}R^Tr_a\\\\ &=\\frac{d}{dt}r_a + \\omega\\times r_a \\end{aligned}
r˙a=dtdra+R˙RTra=dt