矢量叉乘，向量外积

Posted 2022-02-03 脑壳二

矢量叉乘，向量外积

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矢量叉乘，向量外积

• • 矢量叉乘，向量外积
  • 1. 矢量叉乘定义
  • 2. 模长
  • 3. 方向
  • 4. 坐标运算
  • 6. 叉乘矩阵（斜对称矩阵）
  • 6. 叉乘运算规则

1. 矢量叉乘定义

定义两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，他们的叉乘可以写为
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$$

本质上向量叉乘为向量旋转，满足右手螺旋准则；
叉乘结果是一个向量，向量模长是向量A，B组成平行四边形的面积；向量方向是垂直于向量A,B组成的平面；也叫向量积

与点乘不同之处是：点乘结果是一个数，表示两个向量的投影关系，也叫数量积
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

2. 模长

$$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$$
$|\mathbf{c}|$长度在数值上等于以$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$所决定的平面，$\mathbf{c}$的指向按右手定则从a转向b来确定。

3. 方向

$\mathbf{a}$向量与$\mathbf{b}$向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从$\mathbf{a}$以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是$\mathbf{c}$的方向。）

4. 坐标运算

向量$\mathbf{a}$的坐标表示
$$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$$
向量$\mathbf{a}$的坐标轴矢量表示
$$\mathbf{a}=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k$$

其中矢量的x轴、y轴、z轴的单位矢量i、j、k、满足以下关系

$$\begin{gathered} i\times j=k=-j\times i \\ j\times k=i=-k\times j \\ k\times i=j=-i\times k \\ i\times i=j\times j=k\times k=0 \end{gathered}$$
其中的0为零矢量。
附加点乘的运算规则
$$\begin{gathered} i\cdot j=k=-j\times i \\ j\cdot k=i=-k\cdot j \\ k\cdot i=j=-i\cdot k \\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1 \end{gathered}$$

a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ = ∣ a y a z b y b z ∣ i − ∣ a x a z b x b z ∣ j + ∣ a x a y b x b y ∣ k = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y b x ) k \\beginaligned \\mathbfa\\times\\mathbfb&=\\beginvmatrix i&j&k\\\\ a_x&a_y&a_z\\\\b_x&b_y&b_z\\endvmatrix\\\\ &=\\beginvmatrixa_y&a_z\\\\b_y&b_z\\endvmatrixi -\\beginvmatrixa_x&a_z\\\\b_x&b_z\\endvmatrixj + \\beginvmatrixa_x&a_y\\\\b_x&b_y\\endvmatrixk \\\\ &=(a_yb_z-a_zb_y)i + (a_zb_x-a_xb_z)j + (a_xb_y-a_yb_x)k \\endaligned a×b​=∣∣∣∣∣∣​iax​bx​​jay​by​​kaz​bz​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣​ay​by​​az​bz​​∣∣∣∣​i−∣∣∣∣​ax​bx​​矢量导数——角速度与矢量的叉乘

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