矢量导数——角速度与矢量的叉乘

Posted 2022-01-28 脑壳二

矢量导数——角速度与矢量的叉乘

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矢量叉乘，向量外积

• • 矢量导数——角速度与矢量的叉乘
  • 1. 定理
  • 证明
  • 证明结论部分

1. 定理

矢量的导数为角速度叉乘以该适量。

这也是角速度的定义。
角速度在一般意义上是一个二阶张量，不过由于这个张量满足某些约束条件，自由的分量个数恰好变成了3个，所以正好可以拼凑成一个三分量矢量。

刚体绕定轴旋转时，角速度矢量的方向垂直于旋转平面，且按右手螺旋法则确定

证明

定义矢量在本体坐标系表示为$r_a$，在旋转坐标系的表示为$r_b$，两个坐标系之间的旋转矩阵为R。则存在
$$r_a=R{r}_b$$
两边求导得到
$$\begin{array}{rl}{\dot{r}}_a& =\dot{R}{r}_b+R{\dot{r}}_b\\ & =R{\dot{r}}_b+\dot{R}{R}^{-1}{r}_a\end{array}$$

由于坐标旋转矩阵为酉矩阵，即$R^{-1}=R^T$，则
$$\begin{array}{rl}{\dot{r}}_a& =R{\dot{r}}_b+\dot{R}{R}^T{r}_a\end{array}$$

定义相对倒数：
$$R{\dot{r}}_b=\frac{d}{dt}{r}_a$$
表示该矢量在旋转坐标系中的坐标相对时间变化率转到本体坐标系。

引入角速度张量
$$\dot{R}{R}^T=\Omega$$

则可以得到
$$\begin{array}{rl}& {\Omega }^T=R{\dot{R}}^T\\ & \Omega +{\Omega }^T=\frac{d}{dt}(R{R}^T)=\frac{d}{dt}(I)=0\end{array}$$
其中$R{R}^T$基于酉矩阵性质。

同时可以得到
$$\Omega =-{\Omega }^T$$
满足这个条件的张量就是所谓的“斜对称矩阵”，在这个约束条件下，角速度张量可以写成
$$\Omega =\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_y& {\omega }_z\\ {\omega }_y& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_z& {\omega }_x& 0\end{array}\right]$$

如果把旋转坐标系看成是“固连”在刚体上的坐标系，那么这个定义就是刚体角速度的定义。
现在定义角速度矢量
$$\omega =[{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z]$$
则
$$\Omega r_a=\omega \times r_a$$

证明结论部分

因此可以得到
$$\begin{array}{rl}{\dot{r}}_a& =\frac{d}{dt}{r}_a+\dot{R}{R}^T{r}_a\\ & =\genfrac{}{}{0ex}{}{以上是关于矢量导数——角速度与矢量的叉乘的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}{dt}\end{array}$$

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