矢量叉乘，向量外积
Posted 脑壳二
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矢量叉乘，向量外积
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1. 矢量叉乘定义
定义两个向量
a
\\mathbf{a}
a和
b
\\mathbf{b}
b，他们的叉乘可以写为
a
×
b
\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}
a×b
本质上向量叉乘为向量旋转，满足右手螺旋准则；
叉乘结果是一个向量，向量模长是向量A，B组成平行四边形的面积；向量方向是垂直于向量A,B组成的平面；也叫向量积
与点乘不同之处是：点乘结果是一个数，表示两个向量的投影关系，也叫数量积
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ \\mathbf{a}\\cdot\\mathbf{b}=|\\mathbf{a}||\\mathbf{b}|\\cos\\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
2. 模长
∣
c
∣
=
∣
a
×
b
∣
=
∣
a
∣
∣
b
∣
sin
θ
|\\mathbf{c}|=|\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}|=|\\mathbf{a}||\\mathbf{b}|\\sin\\theta
∣c∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ
∣
c
∣
|\\mathbf{c}|
∣c∣长度在数值上等于以
a
\\mathbf{a}
a，
b
\\mathbf{b}
b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于
a
\\mathbf{a}
a与
b
\\mathbf{b}
b所决定的平面，
c
\\mathbf{c}
c的指向按右手定则从a转向b来确定。
3. 方向
a
\\mathbf{a}
a向量与
b
\\mathbf{b}
b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从
a
\\mathbf{a}
a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是
c
\\mathbf{c}
c的方向。）
4. 坐标运算
向量
a
\\mathbf{a}
a的坐标表示
a
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
\\mathbf{a}=(a_x, a_y, a_z)
a=(ax,ay,az)
向量
a
\\mathbf{a}
a的坐标轴矢量表示
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
\\mathbf{a}=a_xi+a_yj+ a_zk
a=axi+ayj+azk
其中矢量的x轴、y轴、z轴的单位矢量i、j、k、满足以下关系
i
×
j
=
k
=
−
j
×
i
j
×
k
=
i
=
−
k
×
j
k
×
i
=
j
=
−
i
×
k
i
×
i
=
j
×
j
=
k
×
k
=
0
i\\times j=k=-j\\times i\\\\j\\times k=i=-k\\times j\\\\k\\times i=j=-i\\times k\\\\ i\\times i=j\\times j=k\\times k=0
i×j=k=−j×ij×k=i=−k×jk×i=j=−i×ki×i=j×j=k×k=0
其中的0为零矢量。
附加点乘的运算规则
i
⋅
j
=
k
=
−
j
×
i
j
⋅
k
=
i
=
−
k
⋅
j
k
⋅
i
=
j
=
−
i
⋅
k
i
⋅
i
=
j
⋅
j
=
k
⋅
k
=
1
i\\cdot j=k=-j\\times i\\\\j\\cdot k=i=-k\\cdot j\\\\k\\cdot i=j=-i\\cdot k\\\\ i\\cdot i=j\\cdot j=k\\cdot k=1
i⋅j=k=−j×ij⋅k=i=−k⋅jk⋅i=j=−i⋅ki⋅i=j⋅j=k⋅k=1
a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ = ∣ a y a z b y b z ∣ i − ∣ a x a z b x b z ∣ j + ∣ a x a y b x b y ∣ k = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y b x ) k \\begin{aligned} \\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}&=\\begin{vmatrix} i&j&k\\\\ a_x&a_y&a_z\\\\b_x&b_y&b_z\\end{vmatrix}\\\\ &=\\begin{vmatrix}a_y&a_z\\\\b_y&b_z\\end{vmatrix}i -\\begin{vmatrix}a_x&a_z\\\\b_x&b_z\\end{vmatrix}j + \\begin{vmatrix}a_x&a_y\\\\b_x&b_y\\end{vmatrix}k \\\\ &=(a_yb_z-a_zb_y)i + (a_zb_x-a_xb_z)j + (a_xb_y-a_yb_x)k \\end{aligned} a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣aybyazbz∣∣∣∣i−∣∣∣∣axbx向量点乘（内积），叉乘（外积）
R语言矩阵向量操作（矩阵乘法，向量内积外积(叉乘)，矩阵转置，矩阵的逆）