偷钻石（最小割 2 最大流）

Posted 2021-09-25 jpphy0

目录

• 问题
• 分析
• • 一般场景
  • 模型转换
  • 构图
• 代码

问题

• m个保安监控 n 个钻石。钻石价值 $a_i$，保安小费 $b_i$。小偷若向保安支付小费，则保安放松监控，小偷将偷得钻石。
• 问：如何支付小费将获得最大收益。
• 输入：
• 1
• 3 3 // n,m
• 3 4 5 // 钻石的价值
• 1 2 3 // 小费
• 101 // 监控第1颗钻石的保安
• 001
• 101

分析

一般场景

• 放弃若干钻石，支付若干保安小费，此时的收益：$$\sum _{i=1}^n{a}_i-(\sum _{j=1}^{\alpha }{a}_{k_j}+\sum _{j=1}^{\beta }{b}_{k_j})，1\le \alpha \le n，1\le \beta \le m$$
• 当放弃的钻石价值及支付的小费总和最小时，收益最大
  $$\sum _{j=1}^{\alpha }{a}_{k_j}+\sum _{j=1}^{\beta }{b}_{k_j}$$

模型转换

• 最大值 $\to$ 最小值，转化为最小割
• 剩余的钻石与未支付小费的保安无关

构图

• 放弃钻石，等效于删除边
• 支付小费，等效于删除边
• 源点与钻石连边，权值为钻石的价值
• 汇点与保安连边，权值为小费
• 监控关系连边，权值无穷大

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MXN = 205;
int n, m, g[MXN][MXN], pre[MXN], flow[MXN];
bool bfs(int s, int t, int v){ // 搜索增广路
	memset(pre, -1, sizeof pre), memset(flow, inf, sizeof flow);
	queue<int> q;	
	q.push(s), pre[s] = 0, flow[s] = inf; // pre：路径兼标记
	while(!q.empty()){
		int last = q.front();
		if(last == t) break;
		for(int i = 1; i <= v; ++i)
			if(pre[i] == -1 && g[last][i] > 0)
				pre[i] = last, flow[i] = min(flow[last], g[last][i]), q.push(i);
		q.pop();
	}
	return pre[t] != -1;
}
void update(int s, int t){ // 更新残留网络
	for(int fa, now = t; now != s; now = fa)
		fa = pre[now], g[fa][now] -= flow[t], g[now][fa] += flow[t];
}
int main(){
	int t, x, sum, maxflow;
	char str[MXN];
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
		memset(g, 0, sizeof g), sum = 0, maxflow = 0;
		scanf("%d%d", &n, &m);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &x), sum += x, g[n+m+1][i] = x;
		for(int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d", &x), g[n+i][n+m+2] = x;
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			scanf("%s", str+1);
			for(int j = 1; j <= m; ++j) if(str[j] == '1') g[i][n+j] = inf;
		}
		while(bfs(n+m+1, n+m+2, n+m+2)) maxflow += flow[n+m+2], update(n+m+1, n+m+2);
		printf("%d\\n", sum - maxflow);
	}
    return 0;
}