BZOJ 2134 单选错位（数学期望）BZOJ 修复工程
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题目描述
gx 和 lc 去参加 noip 初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。
试卷上共有 n n n 道单选题，第 i i i 道单选题有 a i a_i ai 个选项，这 a i a_i ai 个选项编号是 1 , 2 , 3 , … , a i 1,2,3,\\ldots,a_i 1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。
lc 采取的策略是每道题目随机写上 1 ∼ a i 1 \\sim a_i 1∼ai 的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 ∑ i = 1 n 1 a i \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\frac{1}{a_i} i=1∑nai1 道题目。
gx 则是认认真真地做完了这 n n n 道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第 i i i 道题目的答案抄到了答题纸上的第 i + 1 i+1 i+1 道题目的位置上，特别地，第 n n n 道题目的答案抄到了第 1 1 1 道题目的位置上。
现在 gx 已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。
我们假设 gx 没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。
输入格式
n n n 很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有五个整数参数 n , A , B , C , a 1 n, A, B, C, a_1 n,A,B,C,a1，由上交的程序产生数列 a a a。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：
// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;
// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = a[i] % C + 1;
选手可以通过以上的程序语句得到 n n n 和数列 a a a， n n n 和 a a a 的含义见题目描述。
输出格式
输出一个实数，表示 gx 期望做对的题目个数，保留三位小数。
样例输入
3 2 0 4 1
样例输出
1.167
样例说明
a = { 2 , 3 , 1 } a=\\{2,3,1\\} a={2,3,1}。
| 正确答案 | gx的答案 | 做对题目 | 出现概率 |
|---|---|---|---|
| { 1 , 1 , 1 } \\{1,1,1\\} {1,1,1} | { 1 , 1 , 1 } \\{1,1, 1\\} {1,1,1} | 3 3 3 | 1 6 \\frac{1}{6} 61 |
| { 1 , 2 , 1 } \\{1,2,1\\} {1,2,1} | { 1 , 1 , 2 } \\{1,1, 2\\} {1,1,2} | 1 1 1 | 1 6 \\frac{1}{6} 61 |
| { 1 , 3 , 1 } \\{1,3,1\\} {1,3,1} | { 1 , 1 , 3 } \\{1,1, 3\\} {1,1,3} | 1 1 1 | 1 6 \\frac{1}{6} 61 |
| { 2 , 1 , 1 } \\{2,1,1\\} {2,1,1} | { 1 , 2 , 1 } \\{1,2, 1\\} {1,2,1} | 1 1 1 | 1 6 \\frac{1}{6} 61 |
| { 2 , 2 , 1 } \\{2,2,1\\} {2,2,1} | { 1 , 2 , 2 } \\{1,2, 2\\} {1,2,2} | 1 1 1 | 1 6 \\frac{1 }{6} 61 |
| { 2 , 3 , 1 } \\{2,3,1\\} {2,3,1} | { 1 , 2 , 3 } \\{1,2, 3\\} {1,2,3} | 0 0 0 | 1 6 \\frac{ 1}{6} 61 |
共有 6 6 6 种情况，每种情况出现的概率是 1 6 \\dfrac{1}{6} 61，gx 期望做对 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 6 = 7 6 \\dfrac{3+1+1+1+1+0}6 = \\dfrac{7}{6} 63+1+1+1+1+0=67 题。（相比之下，lc 随机就能期望做对 11 6 \\dfrac{11}{6} 611 题）
数据规模与约定
对于 30 % 30\\% 30% 的数据， n ≤ 10 n\\le10 n≤10， C ≤ 10 C\\le10 C≤10。
对于 80 % 80\\% 80% 的数据， n ≤ 1 0 4 n\\le 10^4 n≤104， C ≤ 10 C\\le 10 C≤10。
对于 90 % 90\\% 90% 的数据， n ≤ 5 × 1 0 5 n\\le 5\\times 10^5 n≤5×105， C ≤ 1 0 8 C\\le 10^8 C≤108。
对于 100 % 100\\% 100% 的数据， 2 ≤ n ≤ 1 0 7 2\\le n\\le 10^7 2≤n≤107， 0 ≤ A , B , C ≤ 1 0 8 0\\le A,B,C \\le 10^8 0≤A,B,C≤108。
Solution
显然每道题之间是相对独立互不影响的。
那么对于第 i i i 道题，有 a [ i ] a[i] a[i] 种选项，因为填错了题目，共有 a [ i − 1 ] a[i-1] a[i以上是关于BZOJ 2134 单选错位（数学期望）BZOJ 修复工程的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章