BZOJ 2134 单选错位(数学期望)BZOJ 修复工程

Posted 繁凡さん

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题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛,其中有一种题型叫单项选择题,顾名思义,只有一个选项是正确答案。

试卷上共有 n n n 道单选题,第 i i i 道单选题有 a i a_i ai 个选项,这 a i a_i ai 个选项编号是 1 , 2 , 3 , … , a i 1,2,3,\\ldots,a_i 1,2,3,,ai,每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

lc 采取的策略是每道题目随机写上 1 ∼ a i 1 \\sim a_i 1ai 的某个数作为答案选项,他用不了多少时间就能期望做对 ∑ i = 1 n 1 a i \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\frac{1}{a_i} i=1nai1 道题目。

gx 则是认认真真地做完了这 n n n 道题目,可是等他做完的时候时间也所剩无几了,于是他匆忙地把答案抄到答题纸上,没想到抄错位了:第 i i i 道题目的答案抄到了答题纸上的第 i + 1 i+1 i+1 道题目的位置上,特别地,第 n n n 道题目的答案抄到了第 1 1 1 道题目的位置上。

现在 gx 已经走出考场没法改了,不过他还是想知道自己期望能做对几道题目,这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。

我们假设 gx 没有做错任何题目,只是答案抄错位置了。

输入格式

n n n 很大,为了避免读入耗时太多,输入文件只有五个整数参数 n , A , B , C , a 1 n, A, B, C, a_1 n,A,B,C,a1,由上交的程序产生数列 a a a。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句(默认从标准输入读入):

// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;
// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
	a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到 n n n 和数列 a a a n n n a a a 的含义见题目描述。

输出格式

输出一个实数,表示 gx 期望做对的题目个数,保留三位小数。

样例输入

3 2 0 4 1

样例输出

1.167

样例说明

a = { 2 , 3 , 1 } a=\\{2,3,1\\} a={2,3,1}

正确答案gx的答案做对题目出现概率
{ 1 , 1 , 1 } \\{1,1,1\\} {1,1,1} { 1 , 1 , 1 } \\{1,1, 1\\} {1,1,1} 3 3 3 1 6 \\frac{1}{6} 61
{ 1 , 2 , 1 } \\{1,2,1\\} {1,2,1} { 1 , 1 , 2 } \\{1,1, 2\\} {1,1,2} 1 1 1 1 6 \\frac{1}{6} 61
{ 1 , 3 , 1 } \\{1,3,1\\} {1,3,1} { 1 , 1 , 3 } \\{1,1, 3\\} {1,1,3} 1 1 1 1 6 \\frac{1}{6} 61
{ 2 , 1 , 1 } \\{2,1,1\\} {2,1,1} { 1 , 2 , 1 } \\{1,2, 1\\} {1,2,1} 1 1 1 1 6 \\frac{1}{6} 61
{ 2 , 2 , 1 } \\{2,2,1\\} {2,2,1} { 1 , 2 , 2 } \\{1,2, 2\\} {1,2,2} 1 1 1 1 6 \\frac{1 }{6} 61
{ 2 , 3 , 1 } \\{2,3,1\\} {2,3,1} { 1 , 2 , 3 } \\{1,2, 3\\} {1,2,3} 0 0 0 1 6 \\frac{ 1}{6} 61

共有 6 6 6 种情况,每种情况出现的概率是 1 6 \\dfrac{1}{6} 61,gx 期望做对 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 6 = 7 6 \\dfrac{3+1+1+1+1+0}6 = \\dfrac{7}{6} 63+1+1+1+1+0=67 题。(相比之下,lc 随机就能期望做对 11 6 \\dfrac{11}{6} 611 题)

数据规模与约定

对于 30 % 30\\% 30% 的数据, n ≤ 10 n\\le10 n10 C ≤ 10 C\\le10 C10

对于 80 % 80\\% 80% 的数据, n ≤ 1 0 4 n\\le 10^4 n104 C ≤ 10 C\\le 10 C10

对于 90 % 90\\% 90% 的数据, n ≤ 5 × 1 0 5 n\\le 5\\times 10^5 n5×105 C ≤ 1 0 8 C\\le 10^8 C108

对于 100 % 100\\% 100% 的数据, 2 ≤ n ≤ 1 0 7 2\\le n\\le 10^7 2n107 0 ≤ A , B , C ≤ 1 0 8 0\\le A,B,C \\le 10^8 0A,B,C108

Solution

显然每道题之间是相对独立互不影响的。

那么对于第 i i i 道题,有 a [ i ] a[i] a[i] 种选项,因为填错了题目,共有 a [ i − 1 ] a[i-1] a[i以上是关于BZOJ 2134 单选错位(数学期望)BZOJ 修复工程的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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