利用递归和回溯解决八皇后问题

Posted 2021-09-20 庸人冲

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了利用递归和回溯解决八皇后问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

本文解题思路来自于b站up懒猫老师的视频：懒猫老师-C语言-递归函数-八皇后问题(搜索，回溯)
这个老师讲的特别细，有兴趣的可以去看看，相信一定能获得比本文更大的收获。

八皇后问题

在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法?
高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。如果经过±90度、±180度旋转，和对角线对称变换的摆法看成一类，共有42类。计算机发明后，有多种计算机语言可以编程解决此问题。 —— 百度百科

解题思路

1️⃣ 每一行不能重复出现，可以每次只在同一行上放置一个皇后，则避免了行冲突的问题。每一行的上皇后的放置位置可以从第1列~第8列，共8种选择。例如：从第一行开始放置皇后，那么该皇后从第1行第1列到第1行第8列都可以放置。

2️⃣ 每一列不能重复出现，可以在当前行的某一列合适位置放置皇后，并标记该列为已被占领，则下一行的皇后不可以放置在该列上，例如: 第一行第一列放置皇后，则第一列不能再放置其它皇后。

3️⃣ 每一对角线不能重复出现，对角线有主对角线（左上至右下）和副对角线（左下至右上）两个区域，当把本行皇后放置在合适列上后，标记这两个对角线区域，不能使其它皇后放置在这一区域中。

标记对角线的方式为：

① 主对角线，将棋盘每一行的行下标分别减去每一列的列下标，得到的值在每一个主对角线的位置上都是相等的。

可以定义一个boolean型数组d1，用来纪录棋盘中主对角线是否被占用，用上图中每一个对角线的值作为索引，因为存在负数因此整体+7得到0~14的值，刚好可以作为该数组的索引，数组长度为15。

假设当前放置皇后的位置为(0,2)，则d1[0-2+7]即d1[5]的值被置为false。当放置下一行的皇后时，例如在(1,3)位置，则判断数组d1[1-3+7]位置上的值是否为true，为true表示可以放置，此时应该为false，因此这个位置不能放置。

② 副对角线，将棋盘每一行的行下标分别加上每一列的列下标，得到的值在每一个副对角线的位置上都是相等的。

同样可以定义一个d2数组用来纪录棋盘中副对角线是否被占用，长度同样是15，并且值已经是0~14所以无须修改。待放入皇后位置的行下标+列下标既是对应在d2数组中的下标值。

通过上面分析，可以定义4个数组：

数组place为int型数组，用来纪律每一行皇后的位置，数组长度为8。假如第一行皇后放置再第三列的位置，则place[0] = 2。
数组flag为boolean型数组，用来纪录列的占用情况，数组长度也为8，默认值为true。假如第一列放置了一个皇后，则flag[0] = false。
数组d1为boolean型数组，用来纪录棋盘中主对角线是否被占用，长度为15，默认值为true。
数组d2为boolean型数组，用来纪律棋盘中副对角线是否被占用，长度为15，默认值为true。

public class Queen{
    // 数据结构
    private int[] place = new int[8];  		         // 表示棋盘的一行
    private boolean[] flag = new boolean[8]; 		 // 纪录列的占用情况
    private boolean[] d1 = new boolean[15];          // 纪录主对角线的占用情况
    private boolean[] d2 = new boolean[15];          // 纪录副对角线的占用情况
}

4️⃣ 定义数组后，可以从第1行的第1列开始放置第一个皇后，接着放置下一行的皇后，如果出找到合适位置则放置，当找到第8行合适放置的位置时，纪录本次8个皇后放置的情况，并将第8个皇后的纪录情况置为true，回到第上一行，继续查找，直到遍历完所有情况退出。

当遍历到第n行时，第1列和第8列都找不到合适的位置时，则也需要回溯到上一行，将上一行皇后的位置后移到本行其它的合适位置，继续查找。因此，需要用到使用递归来实现回溯的功能。具体代码如下:

public class Queen{
    private int[] place = new int[8];  		        // 表示棋盘的一行
    private boolean[] flag = new boolean[8]; 		 // 纪录列的占用情况
    private boolean[] d1 = new boolean[15];    // 纪录主对角线的占用情况
    private boolean[] d2 = new boolean[15];  // 纪录副对角线的占用情况
    private int count; // 用于纪录成功放置8皇后的次数

    public Queen() {
        // 初始化数组的值
        Arrays.fill(flag,true);
        Arrays.fill(d1,true);
        Arrays.fill(d2,true);
    }

    public void putQueen(int row){ // row表示当前行
        for(int col = 0; col < 8; col++){ // 从第row的第1列向第8列遍历
            if(flag[col] && d1[row-col+7] && d2[row+col]){
                // 放置皇后
                place[row] = col;
                // 标记占用
                flag[col] = false;      // col列被占用
                d1[row-col+7] = false;  // 对应主对角线被占用
                d2[row+col] = false;    // 对应副对角线被占用
                // 当row < 7 时
                if(row < 7){ // 递归调用
                    putQueen(row+1); // 继续放置下一行皇后
                } else { // 当row == 7 时, 递归终止
                    print(); // 输出本次皇后的摆放位置
                }

                // 回溯，当代码执行到此处有2种情况:
                // 1. 从putQueen()递归方法中返回, 并且在后续递归中未能找到合适位置, 则需要将row行,col列的所有标记清除, 并继续遍历row行col+1列。
                // 2. 已经成功放置8个皇后, 即进入else语句, 同样也需要将row行,col列的所有标记清除,并返回至上一级方法调用处, 如果上一行皇后的位置不在最后一列,则会继续往后查找其它情况。如果上一行皇后在最后列, 则会继续返回上一行重复操作。
                // 清除标记
                flag[col] = true;
                d1[row-col+7] = true;
                d2[row+col] = true;
            }
        }
    }

    // 输出本次皇后摆放位置
    public void print(){
        // 纪录次数
        System.out.println("第" + (++count) + "次八皇后的排列方式: ");
        // 利用place数组中存放的信息, 还原为一个二维数组
        // 'Q'表示皇后,  '.' 表示空
        char[][] chessBoard = new char[8][8];
        for(int i = 0; i < 8; i++){
            Arrays.fill(chessBoard[i],'.');
            // 将第i行的第place[i]列置为Q
            chessBoard[i][place[i]] = 'Q';
        }

        // 遍历
        for(char[] chars : chessBoard){
            for(char chess : chars){
                System.out.print(chess + "\\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    @Test
    public void testQueen(){
        putQueen(0); // 从第1行开始
    }
}

输出结果: （有兴趣的可以验证一下）

第1次八皇后的排列方式: 
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
第2次八皇后的排列方式: 
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
第3次八皇后的排列方式: 
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
第4次八皇后的排列方式: 
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
第5次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
第6次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
第7次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
第8次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
第9次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
第10次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
第11次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
第12次八皇后的排列方式: 
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
第13次八皇后的排列方式: 
.	.	Q	.	.	.	.	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
第14次八皇后的排列方式: 
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
第15次八皇后的排列方式: 
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	Q	.	.	.	
.	Q	.	.	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	.	Q	
.	.	.	.	.	Q	.	.	
.	.	.	Q	.	.	.	.	
.	.	.	.	.	.	Q	.	
Q	.	.	.	.	.	.	.	
第16次八皇后的排列方式: 
.	.	Q	.	.	.	.	.	
.	.	迷宫回溯和八皇后问题
 八皇后问题算法详解
 回溯法八皇后问题（递归和非递归）
 详解Java递归(Recursion)通过递归解决迷宫回溯及八皇后问题
 八皇后，回溯与递归（Python实现）
 算法入门经典-第七章 例题7-2 八皇后问题