数据结构之树以及二叉树的相关概念

Posted 2021-09-18 小赵小赵福星高照～

树

文章目录

• • 树
  • • 树的基本概念
    • 树的相关术语
    • 树的表示
    • 树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）
  • 二叉树概念及结构
  • • 概念
    • 特殊的二叉树
    • 二叉树的性质
    • 二叉树的存储结构
    • 二叉树的顺序结构

树的基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是一种一对多的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此，树是递归定义的。

树的相关术语

节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点： 度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度： 树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林： 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data; // 结点中的数据域
};

每个结点都有指向它的孩子结点和它的下一个兄弟结点的指针，如上图所示

树在实际中的应用（表示文件系统的目录树结构）

我们的磁盘下的文件目录系统就是树的结构

二叉树概念及结构

概念

二叉树是n个结点的有限集合(n>=0)，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

• 二叉树不存在度大于2的结点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

• 满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1，则它就是满二叉树。

例如这样的一棵树就是满二叉树：

注意：

满二叉树的节点的个数是：如果二叉树的层数为K，则结点总数是2^k -1

• 完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

简而言之：完全二叉树的前K-1层都是满的，最后一层不一定满，但是最后一层从左到右必须是连续的

例如：

注意：

完全二叉树的节点的个数范围是：

最多：2^k-1(满二叉树)

最少：2^(k-1)-1+1=2^(k-1)

二叉树的性质

• 若规定根节点的层数为1.则一颗非空二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点
• 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
• 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
• 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)。 (ps： 是log以2
  为底，n+1为对数)

由满二叉树的节点数n=2^h-1，故深度h=log2(n+1)

我们下面来看几个练习:

• 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
  A 不存在这样的二叉树
  B 200
  C 198
  D 199

由性质n0=n2+1，得n0=200，故叶子节点个数为200个

• 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
  A n
  B n+1
  C n-1
  D n/2

该完全二叉树有偶数个结点，说明有一个度为1的结点，有n0+n1+n2=2n，又n0=n2+1，n1=1，2n2+2=2n，解得n0=n，n2=n-1，故叶子结点个数为n

• 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
  A 11
  B 10
  C 8
  D 12

设完全二叉树的高度为h，总结点树为n，由完全二叉树的性质，高度为h的完全二叉树结点最多为：n=2^h-1，高度h=log2(n+1)，结点最少为：n=2^(h-1)，当h=10时，结点最少为512个，最多为1023个，而531符合这个范围，故这棵树的高度为10

• 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
  A 383
  B 384
  C 385
  D 386

因为完全二叉树的总结点数为奇数，故这颗完全二叉树不存在度为1的结点，故n0=n2+1，n0+n1+n2=767，得n2=383，故n1=384

二叉树的存储结构

• 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

下标表示树中父子关系公式：

leftchild = parent*2+1

rightchild = parent*2+2

parent=(child-1)/2

• 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

二叉链表结构：

typedef int BTDataType
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* leftchild;//指向当前结点的左孩子
    struct BinaryTreeNode* rightchild;//指向当前结点的右孩子
    BTDataType data;
}

三叉链表结构：

typedef int BTDataType
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* leftchild;//指向当前结点的左孩子
    struct BinaryTreeNode* rightchild;//指向当前结点的右孩子
    struct BinaryTreeNode* parent;//指向当前结点的双亲
    BTDataType data;
}

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

欢迎大家互相学习！