数据结构之树(Tree)_树的基础

Posted 2020-12-11 fanglongxiang

该篇是关于树的概述，主要介绍什么是树、树的特点、树的表示方法、树的种类、树在存储结构中的表示、树/森林/二叉树之间的转换(原理)等，关于具体树(二叉树)的实现以及查找遍历等后续总结。

树的概述及特点

树是由n个(n>=0)结点组成的一个具有层次关系的集合。
如图，是一个普通的树的图像表示：

从这个图像中大致能看出为什么把这种层次关系的集合称为树了，这个就像一个倒着的树，树跟在上，树叶在下，中间是树干。

由 m(m >= 0) 个互不相交的树 组成的集合被称为森林。如上图，若以B、C为根节点的2棵子树就可以称为森林。

树的结点

树中的每个元素成为“结点”。

特殊的结点

• 根结点：没有父结点的结点。如上图的A。
• 叶子结点：没有子结点的结点，如上图的D、E、F、C都是叶子结点。

结点之间的特殊关系

• 父结点(或称为双亲结点)：一个结点含有子结点，那么该结点称为其子结点的父结点。如上图，A是B、C的父结点。
• 子结点(或称为孩子结点)：子结点和父结点是相对的。如上图，B、C就是A的子结点。
• 兄弟结点：具有相同的父结点称为兄弟结点。如上图，B、C即是兄弟结点，D、E、F也是兄弟结点。

树的特点

• 每个结点有0个或多个子结点。
• 非空树有且只有一个根结点。
• 非根结点有且只有一个父结点。

几个概念

• 结点的度：一个结点含有的子结点数，即结点的度。如上图，A结点的度为2，B结点的度为3。
• 树的度：一颗树中所有结点的度的最大值即树的度。如上图，树的度是3。
• 结点的层次：从根结点开始，根结点为第一层，根结点的子结点为第二层，依次类推。如上图，A为第一层，B、C为第二层，D、E、F为第三层。
• 树的高度(或树的深度)：树中结点所在最大层次。如上图，树的高度即3。

树的表示方法

树的表示方法有很多，最常用的就是图像表示法。
这里就介绍两种比较常见的，图像表示法和符号表示法。

• 图像表示法

如最开始的图像表示(如上图)。各结点之间的关系很清晰。

• 符号表示法

用括号先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理，同层子树之间用逗号隔开。上图用符号表示法表示为：(A(B(D,E,F),C))

树的种类

有序树与无序树

树中结点的子结点之间是否有顺序关系，即谁在左边、谁在右边是否有规定的。
这种，如果有规定 即子结点之间存在顺序关系，称为有序树。
相反，如果不存在顺序关系，则称为无序树。

二叉树

二叉树是非常重要的一种，后续很多都与之关联。

先看个示例图：

每个结点最多含有两个子树的树称为二叉树。 二叉树是有序树。
即各个结点的度不超过2。(也即直接的子结点数最多为2，上面讲的子结点、父结点基本都是直接的关系，不包含子结点的子结点或父结点的父结点)

二叉树的一些特性：
1.第i层，结点总数最多为：2^i-1。
2.若树的深度为k，则二叉树结点总数最多为：2^k-1。
3.叶子节点数n₀ 与 度为2的结点数n₂ 的关系：n₀ =n₂+1。

两种特殊二叉树

• 满二叉树

除叶子结点外，其他结点的度都是2(即只有两个子结点)的树 称为满二叉树。

满二叉树的一些特性：
1.满二叉树第i层，结点总数为：2^i-1。
2.若树的深度为k，则满二叉树结点总数为：2^k-1，叶子结点树为：2^k-1。
3.满二叉树叶子节点都在对地层，不存在度为1的结点。
4.满二叉树，若有n个结点，则树的深度为：k=log₂(n+1)。 2^k-1=n

• 完全二叉树

假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树称之为完全二叉树。
即：如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

完全二叉树的一些特性：
1.完全二叉树若结点总数为n，则树的深度为：?log₂n?+1。
? ?为取整，如?log₂6?+1=3
2.假如完全二叉树中结点编号从上到下，从左到右依次从1到n。则有：
如果i>1时，父结点为?i/2?。(i=1即根结点，无父结点)。
如果2i>n, 则i无左孩子(为叶子结点)；否则i的左孩子是2i。
如果2i+1>n, 则i无右孩子；否则i右孩子是2i+1.

• 平衡二叉树(AVL树)

当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树

树在存储结构中的表示

树在存储结构中的表示，主要有3种：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

双亲表示法

双亲表示法，采用数组的存储方式。
每个结点包含两个部分：数据部分和指向父结点(双亲结点)的指针。
数组元素定义：

data	parent
结点信息	结点的双亲结点在数组中下标

如下，表示数组中元素的定义。

ArrNode[] treeArr = new ArrNode[TREE_SIZE];
class ArrNode {
	//数据部分
	Object data;
	//双亲结点位置
	int parent;
}

根结点没有父结点，所以第二个部分存储为 -1。
示例：一颗普通树 用双亲表示法，存储示意图

双亲表示法中，结点很容易找到父结点。但如果要找孩子结点，则需要遍历后才能找到。

孩子表示法

孩子表示法，采用数组+单链表的存储方式。
数组部分存储了结点的值，以及指向第一个孩子结点的指针。单链表存储的是某个结点的所有孩子结点，从左到右。所以N个结点，即数组大小为N，有N个链表。
如下，表示数组中元素定义，以及链表中元素定义。
数组元素定义：

data	firstChildNode
结点信息	指向第一个孩子结点指针

链表中元素定义：

child	next
孩子结点在数组中的下标	指向下个孩子结点的指针

ArrNode[] treeArr = new ArrNode[TREE_SIZE];

//链表中存储的孩子结点定义
class ChildNode {
	//孩子结点对应的在数组中存储的下标值
	int child;
	//下个孩子结点
	ChildNode next;
}

//数组中存储元素定义
class ArrNode {
	//数据部分
	Object data;
	//指向第一个孩子结点指针(引用)
	ChildNode firstChildNode;
}

如果是叶子结点(即没有孩子结点)，链表为空。
示例：一颗普通树 用孩子表示法，存储示意图

孩子表示法中，结点很容易找到孩子结点。但如果要找双亲结点，则需要遍历后才能找到。

提示：双亲结点和孩子结点都有明显的缺陷，但我们也可以将他们结合起来。即在孩子表示法基础上，数组元素定义中增加双亲位置的指针(即双亲表示法中的parent定义)。这种被称作“双亲孩子表示法”
数组元素定义：

data	parent	firstChildNode
结点信息	结点的双亲结点在数组中下标	指向第一个孩子结点指针

链表中元素定义：

child	next
孩子结点在数组中的下标	指向下个孩子结点的指针

孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法，采用链表的存储方式。
通过孩子结点和兄弟结点来表示。

data	firstChild	firstBrother
结点信息	第一个孩子结点的指针(左孩子)	第一个兄弟结点的指针(右兄弟)

//结点定义
class TreeNode {
	Object data;
	TreeNode firstChild;
	TreeNode firstBrother;
}

示例：一颗普通树 用孩子兄弟表示法，存储示意图

树、森林与二叉树之间的转换

上面的孩子兄弟表示法也能感受到，那就是普通树转换成了一个二叉树。

网上有很多关于树、森林与二叉树之间的转换。这里简单总结下。
---若有不对，请指出。

树、森林转换成二叉树

结合上面孩子兄弟表示方法理解。

其实树 或者 森林 转换成二叉树是一样的。 因为树就是一个森林，单树森林。

转换规则简单是：
森林中第一颗树的根结点 作为 二叉树的根结点。然后所有结点 依次 遵循左孩子有兄弟即可。

下面简单示意说明下。
树(单树森林)转换二叉树

//单树                 二叉树
   A                     A
 / |                   /
B  C  D    =======>    B    
|    /|              / E   F G H            E   C
                                                     D
                          / 
                         F  
                                                     G
                                                         H

二叉树根结点即A(第一个棵树根结点)，A的左孩子为B，右孩子为null(A是第一个树根结点，无兄弟)。然后看B，左孩子为E，右孩子为C(B、C、D兄弟结点)。再看E、C，依次类推即可将树转换成二叉树。

森林转换二叉树
同树转换成二叉树一样，将森林中的树看成兄弟即可。

//        森林                        二叉树
                                       A	
                                     /      A       E     G                  /     			
 / | 	   |	/                 B       E
B  C  D    F   H   I  =======>          /                |                    C   F   G
               J                          / 
                                      D   H
                                         /                                         J   I

二叉树根结点即A(第一个棵树根结点)，A的左孩子为B，右孩子为E(森林中的所有树看作兄弟结点)。然后看B，左孩子为null，右孩子为C(B、C、D兄弟结点),再看E，左孩子为F，右孩子为G。依次类推即可将森林转换成二叉树。

二叉树转换成树、森林

二叉树 转换成 树 或者 森林 也是一样的。 是上面树、森林转换成二叉树的逆向过程。

转换规则简单是：
二叉树的根结点即第一颗树的根结点。然后二叉树所有结点的 左孩子为(树或森林)结点的第一个孩子结点，右孩子为结点的兄弟结点。

下面简单示意说明下。
二叉树转换树(单树森林)

//二叉树                   单树
    A
   /
  B    
 /                         A        
E   C                     / |       
           =======>     B  C  D     
      D                  |    /|    
     /                   E   F G H   
    F                    			
         G
             H

二叉树中A，有左孩子无右孩子。所以，该二叉树对应的是一棵树。A即树的根结点，左孩子B(二叉树中)即A的孩子结点(单树中)。看E、C(二叉树中)，E为B左孩子，即E为B的孩子结点(孩子结点)，C为B右孩子，即C为B的兄弟结点。依次类推即可。

二叉树转换森林
同理

//  二叉树                           森林
       A                                         
     /                        A       E     G   
    /                       / |      |    / 	 
   B       E      =======>  B  C  D    F   H   I 
         /                               |	 
     C   F   G                             J	 
           /                                    
       D   H                                     
          /                                     
         J   I                                    

二叉树中A，有左孩子有右孩子。所以，该二叉树对应的不是一颗树。A即第一颗树的根结点，左孩子B(二叉树中)即A的孩子结点(第一颗树中);右孩子E(二叉树中)是A的兄弟，A是第一颗树的根结点，所以E为第二颗树根结点。看B的左右孩子(二叉树中)，左孩子为空即B(第一颗树中)没有孩子结点，右孩子为C即是B的兄弟结点 在第一颗树中。依次类推即可。