BZOJ 2131 免费的馅饼（DP，二维偏序问题 / 旋转坐标轴转化问题）BZOJ 修复工程
Posted 繁凡さん
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了BZOJ 2131 免费的馅饼（DP，二维偏序问题 / 旋转坐标轴转化问题）BZOJ 修复工程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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题目链接
https://hydro.ac/d/bzoj/p/2131
是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）
题目描述
SERKOI 最新推出了一种叫做 “免费馅饼” 的游戏：游戏在一个舞台上进行。舞台的宽度为 w w w 格（从左到右依次用 1 ∼ w 1\\sim w 1∼w 编号），游戏者占一格。开始时游戏者可以站在舞台的任意位置，手里拿着一个托盘。下图为天幕的高度为 4 4 4 格时某一个时刻游戏者接馅饼的情景。
游戏开始后，从舞台天幕顶端的格子中不断出现馅饼并垂直下落。游戏者左右移动去接馅饼。游戏者每秒可以向左或者向右移动一格或两格，也可以以站在原地不动。
当馅饼在某一时刻恰好到达游戏者所在的格子中，游戏者就收集到了这块馅饼。当馅饼落在一个游戏者不在的格子里时该馅饼就消失。
写一个程序，帮助我们的游戏者收集馅饼，使得所收集馅饼的分数之和最大。
输入格式
第一行是用空格隔开的两个正整数，分别给出了舞台的宽度 w w w 和馅饼的个数 n n n。
接下来 n n n 行，每一行给出了一块馅饼的信息。由三个正整数组成，分别表示了每个馅饼落到舞台上的时刻 t i t_i ti，掉到舞台上的格子的编号 p i p_i pi，以及分值 v i v_i vi。
游戏开始时刻为 0 0 0 。输入文件中同一行相邻两项之间用一个空格隔开。输入数据中可能存在两个馅饼的 t i t_i ti 和 p i p_i pi 都一样。
输出格式
一个数，表示游戏者获得的最大总得分。
输入样例
3 4
1 2 3
5 2 3
6 3 4
1 1 5
输出样例
12
数据规模与约定
对于 100 % 100\\% 100% 的数据， 1 ≤ w ≤ 1 0 8 1\\le w\\le 10^8 1≤w≤108， 1 ≤ n ≤ 1 0 5 1\\le n \\le 10^5 1≤n≤105， 1 ≤ t i ≤ 1 0 8 1\\le t_i\\le 10^8 1≤ti≤108， 1 ≤ p i ≤ w 1\\le p_i\\le w 1≤pi≤w， 1 ≤ v i ≤ 1000 1\\le v_i\\le 1000 1≤vi≤1000
Solution
比较简单的一道题。
显然考虑 DP 。
设 f [ i ] f[i] f[i] 表示接住第 i i i 个馅饼以后能获得的最大的分数。
显然有转移方程：
f [ i ] = max { f [ j ] ∣ ∣ p i − p j ∣ ≤ 2 × ( t i − t j ) } + v i f[i] = \\max\\{f[j]\\mid |p_i-p_j|\\le 2\\times (t_i-t_j)\\} + v_i f[i]=max{f[j]∣∣pi−pj∣≤2×(ti−tj)}+vi
直接转移显然是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的， n ≤ 1 0 5 n\\le 10^5 n≤105，考虑优化。
显然我们可以从转移的条件 j j j 入手。对于每一个可以转移到 i i i 的 j j j ，需要满足 ∣ p i − p j ∣ ≤ 2 × ( t i − t j ) |p_i-p_j|\\le 2\\times (t_i-t_j) ∣pi−pj∣≤2×(ti−tj)，展开后有：
∣
p
i
−
p
j
∣
≤
2
×
(
t
i
−
t
j
)
−
2
×
(
t
i
−
t
j
)
≤
p
i
−
p
j
≤
2
×
(
t
i
−
t
j
)
2
×
t
i
−
p
i
≥
2
×
t
j
−
p
j
o
r
2
×
t
i
+
p
i
≥
2
×
t
j
+
p
j
|p_i-p_j|\\le 2\\times (t_i-t_j)\\\\ -2\\times( t_i-t_j)\\le p_i-p_j\\le 2\\times (t_i-t_j)\\\\ 2\\times t_i-p_i\\ge 2\\times t_j-p_j\\ \\mathrm{or}\\ 2\\times t_i+p_i\\ge 2\\times t_j+p_j
∣pi−pj∣≤2×(ti−tj)−2×(ti−tj)≤pi−pj≤2×(ti−tj)2×ti−pi≥2×tj−pj or 2×ti+pi≥2×tj+pj
设
a
1
=
2
×
t
i
−
p
i
,
a
2
=
2
×
t
i
+
p
i
a_1=2\\times t_i-p_i,a_2=2\\times t_i+p_i
a1=2×ti−pi,a2=2×ti+pi，显然我们只需要按照
a
1
a_1
a1 或者
a
2
a_2
a2 递增的顺序排序即可直接递推，然后问题就变成了一个类
L
I
S
LIS
LIS 问题也即二维偏序问题，使用树状数组维护最优值即可。
注意给定的
w
以上是关于BZOJ 2131 免费的馅饼（DP，二维偏序问题 / 旋转坐标轴转化问题）BZOJ 修复工程的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章