莫比乌斯反演约数个数和
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了莫比乌斯反演约数个数和相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
日拱一卒，功不唐捐
题目描述
设 d ( x ) d(x) d(x) 为 x x x 的约数个数，给定 N , M N,M N,M，求
∑ i = 1 N ∑ j = 1 M d ( i j ) ∑_{i=1}^N∑_{j=1}^Md(ij) i=1∑Nj=1∑Md(ij)
输入格式
输入多组测试数据。
第一行，一个整数 T，表示测试数据的组数。
接下来的 T 行，每行两个整数 N、M。
原式等价于 以上是关于莫比乌斯反演约数个数和的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
M
d
(
i
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
∑
x
∣
j
∑
y
∣
j
[
(
x
,
y
)
=
1
]
∑_{i=1}^N∑_{j=1}^Md(ij) = ∑_{i = 1}^n∑_{j = 1}^m∑_{x | j}∑_{y | j} [(x , y) = 1]
i=1∑Nj=1∑Md(ij)=i=1∑nj=1∑mx∣j∑y∣j∑[(x,y)=1]
这个题看完后，我发现，原来，有的题，还没有开始，就已经结束了。这个转化极其精妙，我等愚钝，只能站在前人的肩膀上了。
证明
对于每一个
i
,
j
i , j
i,j
我们都能写为其质因子相乘的形式：
i
=
p
1
α
1
p
2
α
2
p
3
α
3
.
.
.
.
.
p
n
α
n
j
=
p
1
β
1
p
2
β
2
p
3
β
3
.
.
.
.
.
p
n
β
n
i
∗
j
=
p
1
α
1
+
β
1
p
2
α
2
+
β
2
p
3
α
3
+
β
3
.
.
.
.
.
p
n
α
n
+
β
n
i = p_1^{\\alpha_1}p_2^{\\alpha_2}p_3^{\\alpha_3}.....p_n^{\\alpha_n}\\\\ j = p_1^{\\beta_1}p_2^{\\beta_2}p_3^{\\beta_3}.....p_n^{\\beta_n}\\\\ i * j = p_1^{\\alpha_1 + \\beta_1}p_2^{\\alpha_2 + \\beta_ 2}p_3^{\\alpha_3 + \\beta_3}.....p_n^{\\alpha_n + \\beta_n}\\\\
i=p1α1p2α2p3α3.....pnαnj=p1β1p2β2p3β3.....pnβni∗j=p1α1+β1p2α2+β2p3α3+β3.....pnαn+βn
这里
α
\\alpha
α和
β
\\beta
β可以为0.
约数个数显然为
(
α
1
+
β
1
+
1
)
+
(
α
2
+
β
2
+
1
)
+
(
α
3
+
β
3
+
1
)
+
.
.
.
+
(
α
n
+
β
n
+
1
)
(\\alpha_1 + \\beta_1 + 1) + (\\alpha_2 + \\beta_2 + 1) + (\\alpha_3 + \\beta_3 + 1) + ... + (\\alpha_n + \\beta_n + 1)
(α1+β1+1)+(α2+β2+1)+(α3+β3+1)+...+(αn+βn+1)
那么我们要证明其跟最大公约数有关，不妨列出每一个
i
,
j
i , j
i,j对于每个
p
i
p_i
pi的取 值，我们发现 , i 可以取:
1
,
p
i
,
p
i
2
.
.
.
p
i
α
n
1 , p_i , p_i^2...p_i^{\\alpha_n}
1,pi,pi2...piαn
j可以取到
1
,
p
i
,
p
i
2
.
.
.
p
i
β
n
1 , p_i , p_i^2...p_i^{\\beta_n}
1,pi,pi2...piβn
并且当一个不取1的时候，另外一个肯定取1，那么总共有
α
+
β
+
1
\\alpha + \\beta + 1
α+β+1中取法，对于每一个都是如此，所以
∑
x
∣
j
∑
y
∣
j
[
(
x
,
y
)
=
1
]
=
(
α
1
+
β
1
+
1
)
+
(
α
2
+
β
2
+
1
)
+
(
α
3
+