luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演

Posted 2022-05-23 lishuyu2003

题面

我的做法基于以下两个公式：

\[[n=1]=\sum_d|n\mu(d)\]
\[\sigma_0(i*j)=\sum_x|i\sum_y|j[gcd(x,y)=1]\]
其中\(\sigma_0(n)\)表示\(n\)的约数个数

第一个公式是莫比乌斯函数的基本性质，至于第二个公式的证明，可以考虑\(i*j\)中每一个质因子对 \(\sigma_0(i*j)\) 的贡献，对于一个质因子 \(p\) ，若它在 \(i\) 中的次数为 \(k_1\) ，它在 \(j\) 中的次数为 \(k_2\) ，则在 \(\sigma_0(i*j)\) 中\(p\)的贡献为\((k_1+k_2+1)\)（约数个数计算公式），而在\(gcd(x,y)=1\)的情况下，要么\(x\)中\(p\)的次数为0，要么\(y\)中\(p\)的次数为0，一共有\((k_1+k_2+1)\)种方案，与\(i*j\)中的贡献相同，所以等式左右两边相等。

然后就可以愉快的推式子啦！

\[ \sum_i=1^n \sum_j=1^m\sigma_0(i*j)\]

\[ \sum_i=1^n \sum_j=1^m\sum_x|i\sum_y|j[gcd(x,y)=1]\]

\[\sum_x=1^n\sum_y=1^m \sum_i=1^\lfloor \fracnx \rfloor \sum_j=1^\lfloor \fracmy\rfloor [gcd(x,y)=1]\]

\[\sum_x=1^n\sum_y=1^m \lfloor \fracnx \rfloor \lfloor \fracmy\rfloor \sum_k|gcd(x,y)\mu(k)\]

\[\sum_k=1^n\sum_x=1^\lfloor \fracnk\rfloor\sum_y=1^\lfloor \fracmk \rfloor \lfloor \fracnkx\rfloor \lfloor \fracmky \rfloor\mu(k)\]

\[\sum_k=1^n\mu(k)(\sum_x=1^\lfloor \fracnk\rfloor\lfloor\fracnkx\rfloor)(\sum_y=1^\lfloor\fracmk\rfloor\lfloor\fracmky\rfloor)\]

然后我们设\(S(n)=\sum_i=1^n\lfloor\fracni\rfloor\)，显然\(S(n)\)是可以\(O(\sqrtn)\)计算的

则上式可化为：

\[\sum_k=1^n\mu(k)S(\lfloor\fracnk\rfloor)S(\lfloor\fracmk\rfloor)\]

先预处理\(S(1)-S(maxn)\)，然后就可以\(O(\sqrtn)\)回答每组询问啦！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50007
#define ll long long
const int lim=50000;
ll s[N];
int ui[N],pr[N],cnt;
bool zhi[N];
void Init()

    int i,j;
    ui[1]=1;
    for(i=2;i<=lim;i++)
    
        if(!zhi[i])
        
            pr[++cnt]=i;
            ui[i]=-1;
        
        for(j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=lim;j++)
        
            int p=pr[j],x=i*p;
            zhi[x]=true;
            if(i%p==0)
            
                ui[x]=0;
                break;
            
            ui[x]=-ui[i];
        
    
    for(i=1;i<=lim;i++)
        ui[i]+=ui[i-1];
    for(i=1;i<=lim;i++)
    
        int l,r;
        for(l=1;l<=i;l=r+1)
        
            r=i/(i/l);
            s[i]+=1ll*(r-l+1)*(i/l);
        
    

int main()

    int n,m,t;
    Init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int l1=1,r1,l2=1,r2,cur=1;
        ll ans=0;
        while(l1<=n&&l2<=m)
        
            int l,r;
            r1=n/(n/l1),r2=m/(m/l2);
            l=cur;
            if(r1<r2)r=r1,cur=l1=r1+1;
            else r=r2,cur=l2=r2+1;
            ans+=1ll*(ui[r]-ui[l-1])*s[n/l]*s[m/l];
        
        printf("%lld\n",ans);
    
    return 0;