P2511 [HAOI2008]木棍分割(二分&前缀和优化dp)

Posted 2021-09-04 Harris-H

P2511 [HAOI2008]木棍分割(二分&前缀和优化dp)

最大值最小，二分的板子。

找到最值后，就是$dp$求方案数。

考虑朴素的$dp(i,j)$前$i$个木棍分成$j$组的方案数。

有：$dp(i,j)=\sum _{k=left[i]}^{i-1}dp(k,j-1),sum(k+1,i)\le len$

因为前缀和的单调性，显然转移的求和是可以预处理的。考虑前缀和优化$dp$。

则$dp(i,j)=pre(i,j-1)-pre(k,j-1)$。

$pre(i,j)=\sum _{k=1}^{i}dp(k,j)$​

每次找$k$很麻烦，所以考虑预处理$left[i]=k$，因为前缀和具有单调性，所以直接可以线性处理出来。

因为$dp,pre$转移都只需用到前一维，考虑滚动数组优化空间。

$d{p}_i=pr{e}_i-pr{e}_{left[i]}$​

$pr{e}_j=\sum _{k=1}^{i}d{p}_k$​

时间复杂度：$O(nlogn+nm)$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll int
using namespace std;
inline void read(ll&x){
    x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
}
const ll ha=10007;
ll n,m,l,r,mid,ans;
ll a[50005],s[50005],f[50005],tmp=0;
ll lef[50005],now;
inline bool work(ll x){
    ll k=0,t=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)if(a[i]>x) return false;
    else if(k+a[i]>x){
        t++,k=a[i];
        if(t>m) return false;
    }    else k+=a[i];
    return true;
}
int main(){
    read(n),read(m);
    m++;
    for(ll i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    l=1,r=50000000;
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(work(mid)) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<ans<<' ';
    now=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
      a[i]+=a[i-1];
      while(a[i]-a[now]>ans) now++;
      lef[i]=now-1;
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
//    f[0]=1;
    fill(s,s+n+1,1);
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        for(ll j=1;j<=n;j++) f[j]=(s[j-1]-s[lef[j]])%ha;
        s[0]=0;
        for(ll j=1;j<=n;j++) s[j]=f[j]+s[j-1];
        tmp=(tmp+f[n])%ha;
    }
    cout<<tmp;
    return 0;
}