BZOJ1044: [HAOI2008]木棍分割 二分+区间DP

Posted 2020-06-26 hxer

链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1044

Description

有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

Input

输入文件第一行有2个数n,m. 接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.

Output

输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

Sample Input

3 2
1
1
10

Sample Output

10 2

HINT

两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)

数据范围 

   n<=50000, 0<=m<=min(n-1,1000).

   1<=Li<=1000.

思路:第一问最大值最小，直接二分最大长度即可求得ans1;也是线性处理；

第二问区间DP: f[i,j] 前i根木棍切j次的合法(maxlen <= ans1)数目;这样f[i,j] = f[k,j-1] ( sum[i] - sum[k] <= ans1);这样对于切的数量m，都要枚举每一个位置i,同时还要枚举在j-1次的基础上的位置k, 时间复杂度为O(n^2*m);显然按照数据规模最大为O(n*m)或者乘上个log,现在来优化枚举k的这个子循环；由于前缀和sum[i]是递增的，在ans1确定的前提下，对于递增的i，左边界也是递增的，这样直接模拟队列处理即可；将前一个的和存储在tot中，之后删除就从tot中减去即可；这样时间复杂度就为O(n*m);但是系数很大，运行效率不高

至于内存直接用滚动数组即可实现；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rep0(i,l,r) for(int i = (l);i < (r);i++)
#define rep1(i,l,r) for(int i = (l);i <= (r);i++)
#define rep_0(i,r,l) for(int i = (r);i > (l);i--)
#define rep_1(i,r,l) for(int i = (r);i >= (l);i--)
#define inf 0x7fffffff
#define pow(a) (a)*(a)
#define MS0(a) memset(a,0,sizeof(a))
typedef long long ll;
template<typename T>
void read1(T &m)
{
    T x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    m = x*f;
}
template<typename T>
void read2(T &a,T &b){read1(a);read1(b);}
template<typename T>
void read3(T &a,T &b,T &c){read1(a);read1(b);read1(c);}
#define mod 10007
#define N 50050
int ans1,n,m;
int f[2][N],a[N],sum[N],q[N];
int check(int mx)
{
    int len = 0,cnt = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        len += a[i];//由于是连续捆绑的
        if(len > mx) len = a[i],cnt++;// **
        if(cnt > m) return 0;
        if(a[i] > mx) return 0;
    }
    return 1;
}
void solve()
{
    int l = 0,r = sum[n];
    while(l <= r){
        int mid = l+r>>1;
        if(check(mid)) ans1 = mid,r = mid-1;
        else l = mid+1;
    }
}
void dp()
{
    f[0][0] = 1;
    int pre,cur,tot,l,r,ans2 = 0;
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        pre = i&1;cur = pre^1;
        tot = f[cur][0];
        q[1] = 0;l = 1,r = 1;       //模拟队列;
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            while(l <= r && sum[j] - sum[q[l]] > ans1) // k递增;
                tot = (tot-f[cur][q[l++]]+mod)%mod;
            f[pre][j] = tot;
            q[++r] = j;
            (tot += f[cur][j]) %= mod;
        }
        for(int j = n-1;j;j--){ // 最后一段合法;
            if(sum[n] - sum[j] > ans1) break;
            ans2 += f[pre][j];
            if(ans2 >= mod) ans2 -= mod;
        }
        MS0(f[cur]);//原本认为没有必要重置为0，但是会WA..
    }
    printf("%d %d",ans1,ans2);
}
int main()
{
    read2(n,m);
    rep1(i,1,n) read1(a[i]),sum[i] += sum[i-1]+a[i];
    solve();
    dp();
    return 0;
}