洛谷 - P4245 模板任意模数多项式乘法(三模NTT+中国剩余定理/五次FFT的MTT)

Posted 2021-09-04 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的多项式 $F(x)$ 和一个长度为 $m$ 的多项式 $G(x)$，求 $F(x)\ast G(x)$，模数任意，值域 $1e9$

题目分析：如果不取模的话极限情况下会达到 $10^9\ast 10^9\ast 10^5=10^{23}$

众所周知，NTT 支持值域更大的多项式相乘，但是不支持任意模数。

FFT 支持任意模数，但是不支持值域很大的多项式相乘。

所以本题就针对两种做法各自进行了变形，今天先补一下针对 NTT 的做法，FFT 的后续补

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NTT做法：

既然一个模数不够用，那我们直接参考哈希，将模数扩展成三个，只需要取三个模数，使其乘积大于极限情况，最后再用中国剩余定理合并就好了

注意在中国剩余定理时会爆 $longlong$ ，所以可以全部定义成 $int128$

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FTT做法：

考虑设置一个阈值 $w=2^{15}$，那么每个数都可以拆成 $x=a\ast w+b$ 的形式，类似的，将多项式也拆成这种形式。设初始的多项式为 $A(x)$ 和 $B(x)$，我们拆成 $$A(x)=A_1(x)\ast w+A2(x)$$ $$B(x)=B_1(x)\ast w+B_2(x)$$

那么 $$A(x)B(x)=A_1(x)B_1(x)w^2+A_1(x)B_2(x)w+A_2(x)B_1(x)w+A_2(x)B_2(x)$$

这样一来每一项的乘积的上限是 $2^{15}\ast 2^{15}\ast n=10^{14}$，满足了 $FFT$ 的值域范围，也就可以进行求解了，这种设置阈值的方法称为 $MTT$，不过这种做法需要进行四次插值，点乘后还需要四次插值进行还原，共八次FFT，常数过于太大，下面考虑优化

在复数域中，设 $$P(x)=A_1(x)+A_2(x)i$$ $$P^{\prime }(x)=A_1(x)-A_2(x)i$$ $$Q(x)=B_1(x)+B_2(x)i$$

那么有 $$T_1(x)=P(x)Q(x)=A_1(x)B_1(x)-A_2(x)B_2(x)+(A_1(x)B_2(x)+A_2(x)B_1(x))i$$ $$T_2(x)=P^{\prime }(x)Q(x)=A_1(x)B_1(x)+A_2(x)B_2(x)+(A_1(x)B_2(x)-A_2(x)B_1(x))i$$

然后将 $T_1(x)$ 和 T 2

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