绿色通道 单调队列优化DP

Posted 2021-09-03 行码棋

题目：

高二数学《绿色通道》总共有 n 道题目要抄，编号 1…n，抄第 i 题要花 ai 分钟。小 Y 决定只用不超过 t 分钟抄这个，因此必然有空着的题。每道题要么不写，要么抄完，不能写一半。下标连续的一些空题称为一个空题段，它的长度就是所包含的题目数。这样应付自然会引起马老师的愤怒，最长的空题段越长，马老师越生气。

现在，小 Y 想知道他在这 t 分钟内写哪些题，才能够尽量减轻马老师的怒火。由于小 Y 很聪明，你只要告诉他最长的空题段至少有多长就可以了，不需输出方案。

思路：

题目是让求最大值的最小值，需要用二分的方法，二分枚举最长空题段。
当最长空题段大于答案时，总时间消耗会小于等于m，否则会大于m，满足二分的性质（按照某性质形成单调）。

状态表示：

$f[i]$表示$1\sim i$道题，选择第$i$道题目写的最下时长

状态转移方程：

$f[i]=min(f[j])+w[i],i-limit\le j<i$

因为是要找$f[j]$的最小值，需要用单调队列优化，找出最小值

$i-limit-1$中减一是因为空题区间为$[i-limit,i-1]$，选题做的为第$i-limit-1$道

最后找总的最小时间，如果花费小于等于m，就返回true

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e4+5;
int n,m;
int f[N];
int w[N],q[N];

bool check(int limit)
{
	int hh=0,tt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(q[hh] < i-limit-1) hh++;
		f[i] = f[q[hh]] + w[i];
		while(hh<=tt && f[q[tt]] >= f[i]) tt--;
		q[++tt] = i;
	}
	for(int i=n-limit;i<=n;i++)
		if(f[i]<=m) 
			return true;
	return false;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
	
	int l = 0,r = n;
	while(l<r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if(check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	cout<<r<<'\\n';
	return 0;
}