状态机模型 动态规划

Posted 2021-08-15 行码棋

1.大盗阿福

• 状态表示：
  $f[i][0]$：从前$i$个物品选择，最后状态为0的最大值，状态为0代表没有选择第$i$个
  $f[i][1]$: 从前$i$个物品选择，最后状态为1的最大值，状态为1代表选择了第$i$个
• 转移方程
  $f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1])$
  $f[i][1]=f[i-1][0]+w[i]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5,inf = 0x3f3f3f3f;
int t,n;
int w[N],f[N][2];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		f[0][0]=0,f[0][1]=-inf;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i][0] = max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
			f[i][1] = f[i-1][0] + w[i];
		}
		cout<<max(f[n][0],f[n][1])<<'\\n';
		
	}
	return 0;
 } 

• 普通的动态规划方法

需要从上上个状态进行转移

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5,inf = 0x3f3f3f3f;
int t,n;
int w[N],f[N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
		f[1] = w[1];
		for(int i=2;i<=n;i++)
			f[i] = max(f[i-2]+w[i],f[i-1]);
		cout<<f[n]<<'\\n';
	}
	return 0;
 } 

2.股票买卖

• 状态表示：
  $f[i][j][0]$：从前i个物品里面选，正在进行第j次交易，且手中没有股票的最大值
  $f[i][j][1]$: 从前i个物品里面选，正在进行第j次交易，且手中存有股票的最大值
• 转移方程
  $f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]+w[i])$
  $f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-w[i])$
• 注意：
  每次交易是完整的买入卖出的过程，要区分交易正在进行的状态

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5,M=105,inf=0x3f3f3f3f;
int f[N][M][2];
int n,k,w[N];

int main()
{
    cin>>n>>k;
    memset(f,0xcf,sizeof f);
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]+w[i]);
            f[i][j][1] = max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-w[i]);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i=1;i<=k;i++)res = max(res,f[n][i][0]);
    cout<<res<<'\\n';
    return 0;
}

3.股票买卖2

这次有了股票冷冻期的状态，
一共三个状态：

• 持有股票
• 卖出股票1天
• 卖出股票大于等于2天

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        const int N = 1e5+5,inf = 0x3f3f3f3f;
        int n = prices.size();
        int f[N][3];
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][2]=0;//入口条件
        f[0][1]=f[0][0]=-inf;//其他的初始值设为负无穷
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i][0] = max(f[i-1][0],f[i-1][2]-prices[i-1]);
            f[i][1] = f[i-1][0]+prices[i-1];
            f[i][2] = max(f[i-1][1],f[i-1][2]);
        }
        return max(f[n][2],f[n][1]);
    }
};