牛客IOI周赛27-提高组 C.马老师(容斥dp)

Posted 2021-08-12 issue是fw

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如果在第$i$个位置出现了第$j$位二进制$1$,那么$[i,n]$都有第$j$位二进制$1$

于是定义$f[i][j]$表示当前考虑前$i$位二进制,数列和为$j$的方案数

有$f[i][j]+=\sum _{r=1}^{n}f[i-1][j-r\ast (1<<i)]$

暴力转移复杂度当然还是很高,注意到

$f[i][j]$和$f[i][j-(1<<i)]$的转移方程式非常相似,所以我们直接先令

Ⅰ.$f[i][j]=f[i][j-(1<<i)]$

然后考虑$j$还可以从上一轮的$j-(1<<i)$状态转移而来,所以

Ⅱ.$f[i][j]+=f[i-1][j-(1<<i)]$

特别的,如果$j>=(n+1)\ast (1<<i)$,那么其实是算多了的

因为最多从$j-n\ast (1<<i)$处转移而来,所以此时减去算多的部分,也就是

Ⅲ.$f[i][j]-=f[i-1][j-(n+1)\ast (1<<i)]$

最后,不要忘记继承上一轮的状态,因为可以不选这个二进制

Ⅳ.$f[i][j]+=f[i-1][j]$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
using in = long long;
const int maxn = 5e6+10;
int n,m,f[2][maxn];
void upd(int &x,int y){ x = (x+y)%mod; }
signed main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i=0;i<=m && i<=n;i++)	f[0][i] = 1;
	for(int i=1;i<=23;i++)//考虑每个二进制放的位置
	{
		int t = i&1, v = t^1;
		long long lim = (n+1)*(1ll<<i);
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			f[t][j] = 0;
			if( j>=(1ll<<i) )
			{
				upd( f[t][j],f[t][j-(1ll<<i)] );
				upd( f[t][j],f[v][j-(1ll<<i)] );
			}
			if( j>=lim )
				upd( f[t][j],-f[v][j-lim] );	
		}
		for(int j=0;j<=m;j++)	upd( f[t][j],f[v][j] );
	}
	cout << ( f[23&1][m]%mod+mod )%mod; 
}