矩阵旋转-Eigen应用(QTCreator编辑器)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了矩阵旋转-Eigen应用(QTCreator编辑器)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、概述

  1. 旋转变换的核心思想

    在不同坐标系下,虽然坐标不同,但是同一个向量还是一样的。这句话有点儿怪怪的,但是可以用数学公式表出:\\(\\beta_1^T\\cdot\\alpha_1=\\beta_2^T\\cdot\\alpha_2\\),其中\\(\\beta\\)是不同坐标系的标准正交基(行分块),\\(\\alpha\\)是不同坐标系下的坐标(列向量)。

  2. 旋转变换的五种表述

    1. 旋转矩阵;
    2. 欧式矩阵;
    3. 旋转向量;
    4. 欧拉角;
    5. 四元数;
  3. 旋转变换表述的演替

    1. 旋转矩阵和平移矩阵:有小尾巴累积(非线性)
    2. 欧式矩阵:n+1维方阵要\\((n+1)^2\\)个自由度,太多了(线性,但不紧凑且不直观)
    3. 旋转向量:这是什么呀这一堆数?!看不懂!(紧凑但不直观)
    4. 欧拉角:这会看懂了…等等,这转个90\\(^\\circ\\)咋就膈屁了呢?!(紧凑直观但奇异)
    5. 四元数:爱咋转咋转…等等不对!咋1个\\(R\\)冒俩\\(q\\)呢?\\(q\\)咋还内讧了呢?(紧凑非奇异,但不唯一且不稳定)
  4. 在Eigen库中它们四个大哥(欧式矩阵对不起,现在我们只考虑旋转)的转换关系

    旋转向量和四元数先初始化(默认定义为‘单位阵’,不能赋值为nullptr或者直接使用)!!!

    1. 旋转矩阵

      1. 初始化旋转矩阵
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
        // 通过标准输入设备(标准输入流)键入赋值
        rotation_matrix << x_00,x_01,x_02,x_10,x_11,x_12,x_20,x_21,x_22;
        
      2. 旋转矩阵 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转向量
        // 第一种:通过构造函数(传入一个旋转矩阵)
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector(rotation_matrix);
        // 第二种:首先初始化,然后通过旋转矩阵直接赋值(重载了赋值运算符)
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector;
        rotation_vector = rotation_matrix;
        // 第三种:首先初始化,然后from函数直接作用于this对象(rotation_vector)
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector;
        rotation_vector.fromRotationMatrix(rotation_matrix);
        
      3. 旋转矩阵 \\(\\Longrightarrow\\) 欧拉角
        // (2, 1, 0)表示旋转顺序ZYX,数字越小表示优先级越高
        Eigen::Vector3d euler_angle = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0);
        
      4. 旋转矩阵 \\(\\Longrightarrow\\) 四元数
        // 第一种:通过构造函数(传入一个旋转矩阵)
        Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_matrix);
        // 第二种:首先初始化,然后通过旋转矩阵直接赋值(重载了赋值运算符)
        Eigen::Quaterniond quaternion;
        quaternion = rotation_matrix;
        
    2. 旋转向量

      1. 初始化旋转向量
        // 通过构造函数
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector(alpha, Vector3d(x,y,z));
        
      2. 旋转向量 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转矩阵
        // 第一种方法:通过构造方法传入旋转向量
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix(rotation_vector);
        // 第二种方法:首先初始化,然后通过旋转向量直接赋值(重载了赋值运算符)
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
        rotation_matrix = rotation_vector;
        // 第三种方法:通过matrix方法
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_vector.matrix();
        // 第四种方法:通过toRotationMatrix方法
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();
        
      3. 旋转向量 \\(\\Longrightarrow\\) 欧拉角
        // 不能直接转换,需要通过旋转矩阵搭桥
        Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_vector.matrix().eulerAngles(2, 1, 0);
        
      4. 旋转向量 \\(\\Longrightarrow\\) 四元数
        // 第一种方法:通过构造函数传入旋转向量
        Eigen::Quaterniond quaterniond(rotation_vector);
        // 第二种方法:首先初始化,然后用旋转向量赋值
        Eigen::Quaterniond quaterniond;
        quaterniond = rotation_vector;
        
    3. 欧拉角

      1. 初始化欧拉角
        Eigen::Vector3d euler_angles(yaw, pitch, roll);
        
      2. 欧拉角 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转矩阵
        // 初始化三个旋转角的旋转向量
        Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(euler_angles(2),Eigen::Vector3d::UnitX()));
        Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(euler_angles(1),Eigen::Vector3d::UnitY()));
        Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(euler_angles(0),Eigen::Vector3d::UnitZ()));
        // 先初始化旋转矩阵为单位矩阵,然后这三个旋转向量相乘得到旋转矩阵(运算符重载)
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
        rotation_matrix = yawAngle * pitchAngle * rollAngle;
        
      3. 欧拉角 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转向量
        // 初始化三个旋转角的旋转向量
        Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(euler_angles(0), Eigen::Vector3d::UnitX()));
        Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(euler_angles(1), Eigen::Vector3d::UnitY()));
        Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(euler_angles(2), Eigen::Vector3d::UnitZ()));
        // 先初始化旋转向量,然后这三个旋转向量相乘得到旋转向量(运算符重载)
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector;
        rotation_vector = yawAngle * pitchAngle * rollAngle;
        
      4. 欧拉角 \\(\\Longrightarrow\\) 四元数
        // 初始化三个旋转角的旋转向量
        Eigen::AngleAxisd rollAngle(AngleAxisd(euler_angles(2),Eigen::Vector3d::UnitX()));
        Eigen::AngleAxisd pitchAngle(AngleAxisd(euler_angles(1),Eigen::Vector3d::UnitY()));
        Eigen::AngleAxisd yawAngle(AngleAxisd(euler_angles(0),Eigen::Vector3d::UnitZ()));
        // 先初始化四元数,然后这三个旋转向量相乘得到旋转向量(运算符重载)
        Eigen::Quaterniond quaterniond;
        quaterniond = yawAngle * pitchAngle * rollAngle;
        
    4. 四元数

      1. 初始化四元数
        Eigen::Quaterniond quaterniond(w, x, y, z);
        
      2. 四元数 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转矩阵
        // 第一种方法:通过构造方法传入四元数
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix(quaterniond);
        // 第二种方法:首先初始化,然后通过四元数直接赋值(重载了赋值运算符)
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
        rotation_matrix = quaterniond;
        // 第三种方法:通过matrix方法
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix = quaterniond.matrix();
        // 第四种方法:通过toRotationMatrix方法
        Eigen::Matrix3d rotation_matrix = quaterniond.toRotationMatrix();
        
      3. 四元数 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转向量
        // 第一种方法:通过构造函数传入一个四元数
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector(quaterniond);
        // 第二种方法:通过四元数直接赋值(运算符重载)
        Eigen::AngleAxisd rotation_vector;
        rotation_vector = quaterniond;
        
      4. 四元数 \\(\\Longrightarrow\\) 欧拉角
        // 不能直接转换,需要靠旋转矩阵搭桥
        Eigen::Vector3d euler_angles = quaterniond.matrix().eulerAngles(2, 1, 0);
        
    5. 在Eigen中的转换——总结篇

      旋转矩阵、旋转向量、欧拉角和四元数的转换关系
      1. 旋转矩阵到旋转向量的FRM()方法是fromRotationMatrix();
      2. 四元数和旋转向量到旋转矩阵用的同一套体系,其中TRM()方法是toRotationMatrix();
      3. 只有旋转矩阵才能直接转换为欧拉角,其EA()方法为eulerAngles();
      4. 欧拉角转换成其他旋转表述形式用的同一套体系:RPY相乘。先初始化三个旋转角(RPY)的旋转向量,然后初始化所需旋转表述形式,最后这三个旋转向量相乘得到相应旋转表述形式(运算符重载);
  5. 旋转表述的使用

    1. 旋转矩阵

      Eigen::Vector3d v( 1,0,0 );
      v_rotated = rotation_matrix * v;
      
    2. 欧式矩阵

      Eigen::Vector3d v( 1,0,0 );
      Eigen::Isometry3d T=Eigen::Isometry3d::Identity();
      // 为欧式矩阵设置旋转矩阵
      T.rotate(rotation_vector);
      // 为欧式矩阵设置平移矩阵
      T.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 3, 4));
      Eigen::Vector3d v_transformed = T * v;
      
    3. 旋转向量

      Eigen::Vector3d v( 1,0,0 );
      Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
      
    4. 欧拉角

      Eigen::Vector3d v( 1,0,0 );
      Eigen::Vector3d euler_angles(M_PI / 4, M_PI / 4, M_PI / 4);
      // 通过上述转换:rotation_matrix !!!
      Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_matrix * v;
      
    5. 四元数

      Eigen::Vector3d v( 1,0,0 );
      Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond(rotation_vector);
      // 注意数学上的表达式是:qvq^{-1}
      Eigen::Vector3d v_rotated = q * v;
      

二、详述

  1. 旋转矩阵

    1. 旋转矩阵的定义

      \\[\\begin{aligned} &由旋转的本质方程:\\beta_1^T\\alpha_1=\\beta_2^T\\alpha_2, 又由于\\beta是标准正交基,所以\\beta\\beta^T = E; \\\\ &所以两边同时乘上\\beta_1,故而可得\\alpha_1=\\beta_1\\beta_2^T\\alpha_2,记旋转矩阵R=\\beta_1\\beta_2^T; \\end{aligned} \\]

    2. 旋转矩阵各个参数的意义

      \\(\\beta\\)是标准正交基,\\(\\alpha\\)是相应坐标系下的坐标。

    3. 旋转矩阵各个参数的计算

      \\(R=\\beta_1\\beta_2^T\\)

  2. 欧式矩阵

    1. 欧式矩阵的定义

      \\[T = \\left[ \\begin{matrix} R&t\\\\ \\it{0}^T&1 \\end{matrix} \\right] \\]

    2. 欧式矩阵各个参数的意义

      \\(R\\)是旋转矩阵,\\(t\\)是平移向量,\\(\\it{0}^T\\)是0列向量。

    3. 欧式矩阵各个参数的计算

      不用计算,直接就有!!!

  3. 旋转向量

    1. 旋转向量的定义

      \\[\\overrightarrow{n}与旋角\\theta \\]

    2. 旋转向量各个参数的意义

      任何一个向量(或称为点)【1】的旋转都是绕着一个特定的轴来旋转,我们可以用这个轴的长度保存旋转角的大小\\(\\theta\\)。故而旋转角被定义为:\\(\\theta\\overrightarrow{n}\\)

      【注】【1】:这里本来是坐标系的旋转,但是我们用相对的眼光看问题,我们如果聚焦于坐标系的话就相当与是向量在旋转。一个向量绕着一个轴在转可能比坐标系绕着一个轴在转好理解一点,这俩本质一样。

    3. 旋转向量各个参数的计算

      1. 旋转轴\\(\\overrightarrow{n}\\)的计算

        旋转轴在旋转的时候是不会变化的,所以有:\\(R\\overrightarrow{n}=\\overrightarrow{n}\\),即有\\(\\overrightarrow{n}\\)\\(R\\)的特征值为1的特征向量。

      2. 旋转角\\(\\theta\\)的计算

        罗德格里斯指出了旋转向量到旋转矩阵的法则:\\(R=\\cos{\\theta}I+(1-\\cos{\\theta})\\overrightarrow{n}\\overrightarrow{n}^T+\\sin{\\theta}\\overrightarrow{n}^{\\wedge}\\)

        同时取迹可得:\\(\\mathbf{tr}(R)=1+2\\cos{\\theta}\\)。所以就计算出了\\(\\theta=\\arccos{\\frac{\\mathbf{tr}(R)-1}{2}}\\)

  4. 欧拉角

    1. 欧拉角的定义

      每个轴旋转一个特定的角度,但是有顺序要求,我们一般使用ZYX的顺序(称为RPY)。

    2. 欧拉角各个参数的意义

      1. R:Roll,偏航角
      2. P:Pitch,翻滚角
      3. Y:Yaw,俯仰角
    3. 欧拉角各个参数的计算

      通过传感器或者人为给出。不是吧不是吧,不会真有人用欧拉角吧?!【1】

      【注】【1】:万向锁问题(奇异性)问题——只要我们想用3个实数来表达3维旋转时,都会不可避免地碰到奇异性问题。所以很少用这样的旋转表述方式,一般用也只是用于人机交互中传入旋转角度,或者验证系统的算法,因为这样的表述对于人类来说是非常直观的。

  5. 四元数

    1. 四元数的定义

      \\[q=(s,\\overrightarrow{v})^{T}=(s,x,y,z)^{T}=s+xi+yj+zk \\]

    2. 四元数各个参数的意义

      1. 实部\\(s\\)表示旋转程度:\\(s=f(\\theta)\\)
      2. 虚部\\(\\overrightarrow{v}\\)表示旋转轴:\\(\\overrightarrow{v}=k\\overrightarrow{n}\\)

        虚部\\(\\overrightarrow{v}\\)的定义为某个点在三维直角系下的坐标,由于四元数表示对一个向量(或称为点)的旋转,用数学公式可以严谨地证明,当对\\(\\overrightarrow{v}\\)进行\\(q=(s,\\overrightarrow{v})^{T}\\)旋转时不变,所以\\(\\overrightarrow{v}\\)表示旋转轴。

    3. 四元数各个参数的计算(利用旋转向量)

      1. 实部\\(s\\)的计算
        1. 四元数 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转矩阵

          \\[\\begin{aligned} R& = \\overrightarrow{v}\\overrightarrow{v}^{T}+s^2I+2s\\overrightarrow{v}^{\\wedge}+(\\overrightarrow{v})^2 \\\\\\\\ \\mathbf{tr}(R)&=4s^2-1 \\end{aligned} \\]

        2. 旋转矩阵 \\(\\Longrightarrow\\) 旋转向量

          \\[\\begin{aligned} \\theta& = \\arccos(\\frac{\\mathbf{tr}(R)-1}{2})=\\arccos(2s^2-1) \\\\\\\\ \\theta& = 2\\arccos{s} \\\\\\\\ s& = \\cos{\\frac{\\theta}{2}} \\end{aligned} \\]

      2. 虚部\\(\\overrightarrow{v}\\)的计算
        1. 得到旋转轴

          旋转轴就是四元数的虚部\\(\\overrightarrow{v}\\)

        2. 将四元数单位化

          我们已经知道了实部\\(s=\\cos{\\frac{\\theta}{2}}\\),所以虚部向量就只用除以一个\\(\\sin{\\frac{\\theta}{2}}\\)就行了。

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