典型的动态规划

Posted 2022-04-16 劲火星空

一、问题描述

给定数组arr，arr中所有值都为整数且不重复，每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意长，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求换钱有多少种方法

二、暴力解法

index代表的是哪种钱

i代表的是有多少张这样的钱

对i和index分别遍历，剩下的钱再用process1来分

最后将res返回

	public static int coins1(int[] arr, int aim) 
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) 
			return 0;
		
		return process1(arr, 0, aim);
	

	public static int process1(int[] arr, int index, int aim) 
		int res = 0;
		if (index == arr.length) 
			res = aim == 0 ? 1 : 0;
		 else 
			for (int i = 0; arr[index] * i <= aim; i++) 
				res += process1(arr, index + 1, aim - arr[index] * i);
			
		
		return res;
	

三、记忆搜索解法

就是在暴力解法的基础上增加一个map

当我们要往下遍历的时候先读取map

看map中是否有值，有的话就不用遍历了

减少重复遍历的次数

	public static int coins2(int[] arr, int aim) 
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) 
			return 0;
		
		int[][] map = new int[arr.length + 1][aim + 1];
		return process2(arr, 0, aim, map);
	

	public static int process2(int[] arr, int index, int aim, int[][] map) 
		int res = 0;
		if (index == arr.length) 
			res = aim == 0 ? 1 : 0;
		 else 
			int mapValue = 0;
			for (int i = 0; arr[index] * i <= aim; i++) 
				mapValue = map[index + 1][aim - arr[index] * i];
				if (mapValue != 0) 
					res += mapValue == -1 ? 0 : mapValue;
				 else 
					res += process2(arr, index + 1, aim - arr[index] * i, map);
				
			
		
		map[index][aim] = res == 0 ? -1 : res;
		return res;
	

四、动态规划解法

也是建立一个矩阵用来存储，不过这里不像记忆搜索一样用到的时候乱搜了

而是有顺序的进行，首先需要人为地将第一行和第一列弄满

然后根据规则进行矩阵中每个元素的填充

其中的k指的是arr[index]类型钱的张数

	public static int coins3(int[] arr, int aim) 
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) 
			return 0;
		
		int[][] dp = new int[arr.length][aim + 1];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
			dp[i][0] = 1;
		
		for (int j = 1; arr[0] * j <= aim; j++) 
			dp[0][arr[0] * j] = 1;
		
		int num = 0;
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) 
			for (int j = 1; j <= aim; j++) 
				num = 0;
				for (int k = 0; j - arr[i] * k >= 0; k++) 
					num += dp[i - 1][j - arr[i] * k];
				
				dp[i][j] = num;
			
		
		return dp[arr.length - 1][aim];
	

五、动态规划的优化

上的已经差不多了，只不过k的那里使用的是枚举

这些效率不高，利用数值之间的关系进行优化如下

	public static int coins4(int[] arr, int aim) 
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) 
			return 0;
		
		int[][] dp = new int[arr.length][aim + 1];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
			dp[i][0] = 1;
		
		for (int j = 1; arr[0] * j <= aim; j++) 
			dp[0][arr[0] * j] = 1;
		
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) 
			for (int j = 1; j <= aim; j++) 
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				dp[i][j] += j - arr[i] >= 0 ? dp[i][j - arr[i]] : 0;
			
		
		return dp[arr.length - 1][aim];