Codeforces Round #783 (Div. 2) D题解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Codeforces Round #783 (Div. 2) D题解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
D. Optimal Partition
题意：
给你
n
n
n个数的数组,你可以把这个数组分为若干个连续的子数组,不能为空。
假设
s
[
i
]
s[i]
s[i]为
a
a
a数组的前缀和数组
那么连续子数组
a
l
a_l
al
a
l
+
1
a_l+1
al+1 …
a
r
a_r
ar的价值为
- r − l + 1 r - l + 1 r−l+1 前提是： s [ r ] − s [ l − 1 ] > 0 s[r] - s[l-1] > 0 s[r]−s[l−1]>0
- 0 0 0 前提是： s [ r ] − s [ l − 1 ] = 0 s[r] - s[l-1] = 0 s[r]−s[l−1]=0
- − ( r − l + 1 ) -(r - l +1) −(r−l+1) 前提是： s [ r ] − s [ l − 1 ] < 0 s[r] - s[l-1] < 0 s[r]−s[l−1]<0
求若干个连续的子数组的价值之和的最大值
思路：
假设
f
[
i
]
f[i]
f[i]表示只考虑数组的前i个数的最大价值之和。
由题意得
- f [ i ] = f [ j ] + ( i − j ) , [ s [ i ] − s [ j ] > 0 , j < i ] f[i] = f[j] + (i - j) ,[s[i]-s[j]>0,j<i] f[i]=f[j]+(i−j),[s[i]−s[j]>0,j<i]
- f [ i ] = f [ j ] , [ s [ i ] − s [ j ] = 0 , j < i ] f[i] = f[j],[s[i]-s[j]=0,j<i] f[i]=f[j],[s[i]−s[j]=0,j<i]
- f [ i ] = f [ j ] − ( i − j ) , [ s [ i ] − s [ j ] < 0 , j < i ] f[i] = f[j] - (i - j) ,[s[i]-s[j]<0,j<i] f[i]=f[j]−(i−j),[s[i]−s[j]<0,j<i]
时间复杂度 O n 2 On^2 On2
考虑优化，将上述三个式子进一步化简为
- f [ i ] − i = f [ j ] − j , [ s [ i ] > s [ j ] , j < i ] f[i] -i = f[j] - j ,[s[i]>s[j],j<i] f[i]−i=f[j]−j,[s[i]>s[j],j<i]
- f [ i ] = f [ j ] , [ s [ i ] = s [ j ] , j < i ] f[i] = f[j],[s[i]=s[j],j<i] f[i]=f[j],[s[i]=s[j],j<i]
- f [ i ] + i = f [ j ] + j , [ s [ i ] < s [ j ] , j < i ] f[i] + i = f[j] + j ,[s[i]<s[j],j<i] f[i]+i=f[j]+j,[s[i]<s[j],j<i]
考虑第一个式子,
f
[
i
]
−
i
=
f
[
j
]
−
j
,
[
s
[
i
]
>
s
[
j
]
,
j
<
i
]
f[i] -i = f[j] - j ,[s[i]>s[j],j<i]
f[i]−i=f[j]−j,[s[i]>s[j],j<i]
等价于
f
[
i
]
=
m
a
x
(
f
[
j
]
−
j
)
+
i
,
[
s
[
j
]
<
s
[
i
]
,
j
<
i
]
f[i] = max(f[j] - j)+i,[s[j]<s[i],j<i]
f[i]=max(f[j]−j)+i,[s[j]<s[i],j<i]
我们可以把所有的
s
[
i
]
s[i]
s[i]当做数组的下标,
等价于对每一个
i
i
i,查询所有的小于
s
[
i
]
s[i]
s[i]这个下标的
f
[
j
]
−
j
f[j]-j
f[j]−j的最大值
考虑
s
[
i
]
s[i]
s[i]的范围过大,无法作为数组下标,我们可以将所有的
s
[
i
]
s[i]
s[i]离散化
然后查询所有的小于
s
[
i
]
s[i]
s[i]这个下标的
f
[
j
]
−
j
f[j]-j
f[j]−j的最大值来更新
f
[
i
]
f[i]
f[i]
然后在这颗线段树上更新下标为 s [ i ] s[i] s[i]的值为 f [ i ] − i f[i] - i f[i]−i
第二个和第三个式子同理
我们可以建立三颗线段树，
查询区间最大值,单点修改,即可
时间复杂度： O n l o g n Onlogn Onlogn
#include <bits/stdc++.h>
#define fer(i,a,b) for(re i = a ; i <= b ; ++ i)
#define der(i,a,b) for(re i = a ; i >= b ; -- i)
#define cf int _; cin>> _; while(_--)
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define sf(x) scanf("%lld",&x)
#define re register int
#define lb lower_bound
#define int long long
#define pb push_back
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10 , M = 1e9 , mod = 1e9 + 7 ; // mod = 998244353 ;
const double eps = 1e-7 , pi = acos(-1.0) ;
int n ;
int a[N] , s[N] ;
int f[N] ;
vector<int> q ;
struct Node
int l, r;
int v ; // 区间[l, r]中的最大值
tr[3][N * 4];
int d ;
int get(int x)
return lb(all(q) , x) - q.begin() + 1 ;
void pushup(int u) // 由子节点的信息，来计算父节点的信息
tr[d][u].v = max(tr[d][u<<1].v,tr[d][u<<1|1].v);
void build(int u, int l, int r)
if(l == r)
tr[d][u] = l,r,-M;
else
tr[d][u] = l,r;
int mid = r + l >> 1 ;
build(u << 1 , l , mid );
build(u << 1 | 1 , mid + 1 , r);
pushup(u) ;
以上是关于Codeforces Round #783 (Div. 2) D题解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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