范数的意义与计算方法

Posted 2023-03-02 Laurence Geng

1. 范数的意义

范数可以简单的理解为“距离”。由于向量是既有大小又有方向的量，所以向量是不能直接比较大小的，但是范数提供了一种方法，可以将所有的向量转化为一个实数，然后就可以比较向量的大小了。（注：本文我们只讨论向量范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，另一种叫矩阵范数，表征矩阵引起变化的大小。本文地址：https://blog.csdn.net/bluishglc/article/details/128642156，转载请注明出处。

2. 范数的计算方法

范数并不是一个数，而是一组数，我们先了解一下最常用的L-2范数范数，它的计算方法是：将向量的每一个分量平方后再求和，然后对和开平方，得到的就是这个向量的L-2范数范数了，使用公式描述就是：

• L-2范数

公式1：L-2范数计算公式

其中x1到xn是向量中的每一个分量。L-2范数范数度量的是向量到原点的距离，这个距离正是向量的“模”（Magnitude）（“模”指的就是向量的长度）。我们将在后面深入介绍L-2范数及其应用。

• L-1范数

L1型范数的就是所有元素的绝对值之和，计算公式如下：

公式2：L-1范数计算公式

对于L-1范数的应用我们留待以后介绍。

• L-P范数

前面说过：范数并不是一个数，而是一组数，这取决于对每一个分量求的是几次方和对和开的几次方根，通用的范数公式是这样：

公式3：L-P范数计算公式

当P取2时，上述公式就是L-2范数，当P取1时，上述公式就是L-1范数。

3. “两个向量间的”L-2范数

我们说范数度量的是两个向量之间的距离，即：度量的是它们之间的相似程度或者说差异程度，但是从L-2范数的计算公式上可以看出，它只用了一个向量，这个怎么解释呢？其实L-2范数计算的是：向量到原点的距离。我们来看下面这个公式：

公式4：（两个向量间的）L-P范数计算公式

这是L-P范数的另一种表述形式，它计算的是两个向量（ax, ay, …, az)和（bx, by, …, bz）之间的距离。为了便于区分，我们把前面的L-2范数公式称为：（单向量）L-2范数公式，前后对比一下就会发现：当P=2，B=（0, 0, …, 0）时，就会“退化”成（单向量）L-2范数公式。所以说：（单向量）L-2范数计算的向前向量和0向量（原点）之间的距离，由于原点处的向量各分量均为0，减与不减没有分别别，所以才看上去只有一个向量参与计算。此外，当P=2时，上述公式计算出的“两个向量间的”距离就是欧式距离！

利用这个可以直接计算两向量间距离的L-2范数公式，我们用一个例子看一下如何计算两个向量间的欧式距离。假设二维平面上有A(2,3)和B(3,1)两个点，如图所示：

图1：两个向量间的“距离

A，B同时也是两个向量，套用L-2范数范数计算公式，可以计算出向量A(2,3)的L-2范数范数约为：3.6，这个值也是向量A的模，也就是A点到原点的距离。同理，向量B(3,1)的L-2范数范数约为：3.16。我们现在可以说：向量A(2,3)到0向量(0,0)的距离是3.6，向量B(3,1)到0向量(0,0)的距离是3.16。那向量A到向量B的距离怎么算呢？套用上面的公式，可得结果约为2.236， 计算过程如下：

备注：目前互联网上的文章对标准L-2范数公式没有定论，有的使用是公式1（单向量版本），有的使用的是公式1（两向量差版本），虽然两个公式其实是统一的，但是从NumPy的计算方式来看，计算L-2范数使用的是公式1。

4. 使用NumPy计算范数

虽然范数的计算规则并不复杂，但是对于元素数量较多的向量来说，计算起来还是很麻烦的，为此，NumPy提供了专门用于计算各型范数的函数：numpy.linalg.norm() ，下图解释了该函数3个核心参数的意义：

5. 计算（单向量）范数

现在我们就用NumPy的norm函数去计算一个二维数组的L-2范数。在下面的示例代码中，我们没有显式设定ord参数，所以求的是L-2范数。对于axis参数的设置符合NumPy的默认惯例：

• 不设置axis参数是求整个数组（所有元素）的范数
• 显式设置axis=0是求列向量的范数
• 显式设置axis=1是求行向量的范数

import numpy as np
# author: https://laurence.blog.csdn.net/

samples=[[-1, 1, 3],
         [-1, 3, 2]]

# 计算列向量的L2范数
samples_norms = np.linalg.norm(samples, axis=0)
print(f"samples norms by column: \\nsamples_norms")

# 计算行向量的L2范数
samples_norms = np.linalg.norm(samples, axis=1)
print(f"samples norms by row: \\nsamples_norms")

# 计算整个二维数组（即所有元素）的L2范数
samples_norms = np.linalg.norm(samples)
print(f"samples norm: \\nsamples_norms")

程序输出：

samples norms by column: 
[1.41421356 3.16227766 3.60555128]
samples norms by row: 
[3.31662479 3.74165739]
samples norm: 
5.0

计算（两向量间的）范数（相似度）

下面我们从单一向量拓展到计算两个向量间的范数。我们就直接借用图1所示的案例，计算向量A(2,3)和B(3,1)间的距离。NumPy并没有直接提供相应的函数，但是这个计算只需拆解为两步就能完成，所以还是非常简单的。首先，向量A(2,3)和B(3,1)间的距离其实就是向量B减去向量A得到的一个差值向量，它的“长度”就是AB间的距离。所以我们只需要求出向量B减去向量A的差值向量，然后用norm函数算出它的l-2范数就可以了。NumPy也为我们直接提供了向量的减法支持，以下是实际代码：

import numpy as np
# author: https://laurence.blog.csdn.net/

A = np.array([2,3])
B = np.array([3,1])

# 使用NumPy数组减法直接求得差向量
AB = B-A

print(f"AB = AB")
# 计算差向量的大小(L-2范数)，结果就是向量A到向量B的“距离”
# 也就是度量向量A到向量B相似程度的一个数值！
ab_norm = np.linalg.norm(AB)
print(f"Distance between A and B: ab_norm")

程序输出：

AB = [ 1 -2]
Distance between A and B: 2.23606797749979

参考资料：

Normalization using NumPy norm

Vector Norms: quick explanation