NLP教程：啥是范数（norm）？以及L1,L2范数的简单介绍

Posted 2023-03-30

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范数，是具有“距离”概念的函数 。我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足 非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念 ，它在定义上比距离多了一条 数乘 的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

这里简单地介绍以下几种向量范数的定义和含义

2、L0范数
当P=0时，也就是L0范数，由上面可知， L0范数并不是一个真正的范数 ，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。用上面的L-P定义可以得到的L-0的定义为：

这里就有点问题了，我们知道非零元素的零次方为1，但零的零次方，非零数开零次方都是什么鬼，很不好说明L0的意义，所以在通常情况下，大家都用的是：

表示向量x中非零元素的个数。对于L0范数，其优化问题为：

在实际应用中，由于L0范数本身不容易有一个好的数学表示形式，给出上面问题的形式化表示是一个很难的问题，故被人认为是一个NP难问题。所以在 实际情况中 ， L0的最优问题会被放宽到L1或L2下的最优化。

3、L1范数
L1范数是我们经常见到的一种范数，它的定义如下：

表示向量x中非零元素的绝对值之和。
L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的 曼哈顿距离、最小绝对误差 等。使用 L1范数可以度量两个向量间的差异，如绝对误差和（Sum of Absolute Difference） ：

对于L1范数，它的优化问题如下：

由于L1范数的天然性质，对L1优化的解是一个稀疏解， 因此L1范数也被叫做稀疏规则算子 。 通过L1可以实现特征的稀疏，去掉一些没有信息的特征 ，例如在对用户的电影爱好做分类的时候，用户有100个特征，可能只有十几个特征是对分类有用的，大部分特征如身高体重等可能都是无用的，利用L1范数就可以过滤掉。

4、L2范数
L2范数是我们最常见最常用的范数了，我们用的最多的度量 距离欧氏距离就是一种L2范数 ，它的定义如下：

表示向量元素的平方和再开平方。
像L1范数一样，L2也可以度量两个向量间的差异 ，如平方差和（Sum of Squared Difference）:

对于L2范数，它的优化问题如下：

L2范数通常会被用来做优化目标函数的正则化项，防止模型为了迎合训练集而过于复杂造成过拟合的情况，从而提高模型的泛化能力 。

5、L _∞ 范数
当 p=∞时，也就是L _∞ 范数，它主要被用来 度量向量元素的最大值 ，与L0一样，通常情况下表示为

使用机器学习方法解决实际问题时，我们通常要用L1或L2范数做正则化（regularization），从而限制权值大小，减少过拟合风险。特别是在使用梯度下降来做目标函数优化时，

L1范数（L1 norm）是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“ 稀疏规则算”（Lasso regularization ）。
比如 向量A=[1，-1，3]， 那么A的L1范数为 |1|+|-1|+|3|.

简单总结一下就是：
L1范数: 为x向量各个元素绝对值之和。
L2范数: 为x向量各个元素平方和的1/2次方，L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数
Lp范数: 为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方.

L1正则化产生稀疏的权值, L2正则化产生平滑的权值为什么会这样？
在支持向量机学习过程中，L1范数实际是一种对于成本函数求解最优的过程，因此，L1范数正则化通过向成本函数中添加L1范数，使得学习得到的结果满足 稀疏化 ，从而方便提取特征。
L1范数可以使权值稀疏，方便特征提取。 L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。
L1和L2正则先验分别服从什么分布
面试中遇到的，L1和L2正则先验分别服从什么分布，L1是拉普拉斯分布，L2是高斯分布。

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