bsgs算法

Posted 2022-08-12 clover_hxy

bsgs算法

bsgs算法，又称大小步算法（某大神称拔山盖世算法）。

主要用来解决   A^x=B(mod C)(C是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。（poj 2417 Discrete Logging）

具体步骤如下：

先把x=i*m-j，其中m=ceil(sqrt(C))，（ceil是向上取整）。

这样原式就变为A^(i*m-j)=B(mod C)，

再变为A^j×B=A^(m*i) (mod C)。

枚举j(范围0-m),将A^j×B存入hash表

枚举i(范围1-m),从hash表中寻找第一个满足A^j×B=A^(m*i) (mod C)。

此时x=i*m-j即为所求。

在网上看到的其他题解大多用的是x=i*m+j，也可以做，只是会牵扯的求逆元，所以比较麻烦。使x=i*m-j就可以轻松避免这个问题了。

那么肯定有人会有疑问为何只计算到m=ceil(sqrt(C))就可以确定答案呢？

x=i*m-j  也就是x 的最大值不会超过p,那超过p的怎么办 ？

有一个公式  a^(k mod p-1)=a^k (mod p)     这个公式的推导需要用到费马小定理

k mod p-1可以看做 k-m（p-1）  ,原式可化成  a^k/(a^(p-1))^m=a^k (mod p)   

根据费马小定理 a^(p-1)=1  (mod p) 其中p为质数 ，a,p 互质，可得a^k/1^m=a^k  (mod p)   a^k=a^k (mod p) 得证。

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<map>  
#include<cmath>   
using namespace std;  
long long a,b,c,m,f[10000000];  
map<long long,int> mp;  
long long  qsm(long long x)  //快速幂
  
  long long sum=1; long long aa=a;   
  while (x>0)  
     
     if (x&1)  
      sum=(sum*aa)%c;  
     x=x>>1;  
     aa=(aa*aa)%c;  
     
  return sum;  
  
int main()  
  
  mp.clear();   
  while (scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF)  
   
     mp.clear();  
     if (a%c==0)   //判断a,c 是否互质，因为c 是质数，所以直接判断是否整除即可
       
        printf("no solution\\n");  
        continue;  
       
     int p=false;  
     m=ceil(sqrt(c)); 
	 long long ans;  
     for (int i=0;i<=m;i++)  
       
         if (i==0)
          
          	ans=b%c; mp[ans]=i; continue;
          
         ans=(ans*a)%c;    
         mp[ans]=i;  
       
	 long long t=qsm(m); ans=1;
     for (int i=1;i<=m;i++)  
        
        ans=(ans*t)%c;  
        if (mp[ans])  
           
            int t=i*m-mp[ans];  
            printf("%d\\n",(t%c+c)%c);  
            p=true;  
            break;  
           
        
     if (!p)   
      printf("no solution\\n");