bsgs(Baby Steps Giant Steps)算法

Posted 2020-10-06 Der Barde, Nietzsche

BSGS算法（Baby Steps Giant Steps算法，大步小步算法，北上广深算法，拔山盖世算法）

适用问题

对于式子：

$$x^y=z(mod_p)$$

已知x，z，p，p为质数；

求解一个最小非负整数y；

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存在一个y,属于[0,p-2]（费马小定理）

于是有了一个笨拙的方法，枚举y

枚举y，期望效率：O(P)

寻求一种优化：

对式子变型：

设：$$y=i\sqrt{p}-j$$

则$$x^{i\sqrt{p}-j}=z(mod_p)$$

——这个变型的用意在于把y拆开

枚举y，变成枚举，i,j；

i在1~$\sqrt{p}$之间，j在0~$\sqrt{p}$之间

（根号上取整，其实i，j的范围大可大些——只要保证y不会小于0）

枚举（i,j），期望效率：$O(\sqrt{p}*\sqrt{}p)$

本质上没有优化

接着变型：

$$x^{i\sqrt{p}}=z*x^{j}(mod_p)$$　

——这个变型的用意在于真正把y分离为两部分

枚举j，把等号右边的模后得数置于hash_table,此时同一个得数只留最大的j值;

从小到大枚举i，计算等号左边的模后得数，查询hash_table，第一个成功查询的i，与其相应的j，组成$i\sqrt{p}-j$即为最小的y，

期望效率：$O(\sqrt{p}*T(hash))$

效率优异，拔山盖世的bsgs算法，就是这样了；

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例题：

[SDOI2011]计算器

代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
const int ss=999983; 
using namespace std;
int hash_tab[1000000],tot;
struct ss{
    int nu,next,j;
}data[1000000];
void work();
void work1();
void work2();
void work3();
LL Sqr(LL ,int );
int hash(int, int ,int );
LL z,y,p;
bool flag;
int main()
{
    work();
}
void work(){
    int T,K;
    scanf("%d%d",&T,&K);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
        if(K==1)
            work1();
        if(K==2)
            work2();
        if(K==3)
            work3();
    }
}
void work1(){
    int i,j,k;
    printf("%lld\n",Sqr(y,z));
}
void work2(){
    int ans,less;
    if((!(y%p)&&z)||((y%p)&&!z)){
        printf("Orz, I cannot find x!\n");return;
    }
    printf("%lld\n",Sqr(y%p,p-2)*z%p);
}
void work3(){
    long long ysqrtp,sqrtp=ceil(sqrt(p));
    memset(hash_tab,0,sizeof(hash_tab));
    memset(data,0,sizeof(data));
    long long l=1,r=z%p;
    int i,j;
    if((!(y%p)&&z)||((y%p)&&!z)){
        printf("Orz, I cannot find x!\n");return;
    }
    ysqrtp=Sqr(y,sqrtp);
    for(i=0;i<=sqrtp;i++)
        hash(r,i,0),(r*=y)%=p;
    for(i=1;i<=sqrtp;i++){
        (l*=ysqrtp)%=p;
        if((j=hash(l,0,1))!=-1){
            printf("%lld\n",i*sqrtp-j);
            return ;
        }
    }
    printf("Orz, I cannot find x!\n");
}
LL Sqr(LL x,int n){
    LL ret=1;
    while(n){
        if(n&1)(ret*=x)%=p;
        (x*=x)%=p;n>>=1;
    }
    return ret;
}
int hash(int num,int j,int flag){
    int tem;
    for(tem=hash_tab[num%ss];tem;tem=data[tem].next){
        if(data[tem].nu==num){
            if(!flag&&j>data[tem].j)
                data[tem].j=j;
            return data[tem].j;
        }
        if(!data[tem].next&&!flag){
            data[tem].next=++tot;
            data[tot].j=j;
            data[tot].nu=num;
            return -1;
        }
    }
    if(!flag){
        hash_tab[num%ss]=++tot;
        data[tot].j=j;
        data[tot].nu=num;
    }
    return -1;
}

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