复数，通往真理的最短路径

Posted 2021-04-28 校苑数模

在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域

----雅克·阿达马

现代数学家对复数的看法如斯，无限拔高了复数的地位，这样说有道理吗？

1 对于复数的普通认知

我想，对于复数，或许大家一般会有以下的认知吧。

1.1 应付考试

高中的时候，会粗略地学习下复数，首先定义：

然后形如：

这样的数就是复数。有了复数之后，开方运算就不再局限于大于0的数了，这样高中必考的一元二次方程：

就总是有解了：

书上还会给出一些复数的运算法则，这样高考命题组就可以出题了。最后留给同学们的印象，似乎复数就是一个类似于太阳能电筒（不带蓄电池）一样，属于智力过剩的产物，是数学家的玩具。

1.2 数系完善

增加负数，可以使得减法任意进行。而有了  之后，开根号运算就可以随意了，比如：

对数运算也可以操作负数了，比如（下面用到欧拉公式）：

这样，基本上就只有：

• 除以0

• 
  

这两个运算没有办法执行了。不过大家思考过没有，完善数系真的那么重要呢？如果非常重要的话，为什么不能发明一个数系能够使得“除以0 ”可以进行下去？

你别说，史上有非常多的数学家想去发明能够兼容“除以0”的数系，可惜都失败了，因为没有办法自洽。比如说，某个数系兼容“除以0 ”，那么很容易得到荒谬的结论：

你说这种扩展数系的方法不对，换种别的扩展方式或许就能自洽。但是数学家试过各种扩展方式，都没有办法自洽。

深想一步，尝试了无数种方法都没有发明出兼容“除以0 ”的数系，是否意味着不存在这样的数系。就好比，尝试了无数种永动机，下面是其中之一：

这些永动机最后都被证伪，实际上“永动机”这个目标就是错误的（1775年法国科学院通过决议，宣布永不接受永动机。现在美国专利及商标局严禁将专利证书授予永动机类申请。据说现在有什么时间晶体，不了解就不发言）。

再深想一步，为什么扩展  就那么容易呢？没有遇到自洽的问题呢？这是因为当人们抽象出“1+1=2”的时候，复数就根植于逻辑之上、存在于数学之中，静静地等待着人们的发现。

2 二维的数

假设有一个生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

上面的完整动画如下：

实数是一维的数，既生活在一维的实数轴上，又困囿其上：

而复数生活在二维复平面，拥有更大的自由度：

类比刚才的动画，你就会明白为什么复数域更加重要，也不可或缺，因为它带给我们更广阔的视野。在复数域中解决一些问题会更加简单、更接近本质。

让我们带着这个模型重新审视下复数的发现历史，进一步去理解复数。

3 复数的历史

3.1 纸片人卡尔达诺

意大利数学家，吉罗拉莫·卡尔达诺（1501－1576），在它的著作《大术》中（这本书首次记载了一元三次方程的完整解法）提到这个一个问题，能否把10分成两部分，使它们的乘积为40？

他给出一个答案，令：

这样就满足题目的要求：

不过他自己也认为这不过就是一个数学游戏，虽然出现了虚数，但是“既不可捉摸又没有什么用处”。

此时的卡尔达诺就好像之前的纸片人，虽然想到了虚数，触摸到了更高的维度，但是终究还是把它看成一种幻想。

之后的笛卡尔把  称为虚数，也就是虚幻的、想像出来的数；莱布尼兹描述它为“介乎于存在与不存在之间的两栖数”。

确实，纸片人要跳出自己的维度去想问题是非常困难的。

3.2 邦贝利的思维飞跃

拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，同时也是一个卓越的数学家，其出版于1572年的《代数学》一书讨论了负数的平方根（虚数）：

正是这本书产生了一个思维飞跃，下面用现代语言来介绍一下。

3.2.1 一元二次方程

首先，标准的一元二次方程：

它的解为：

从几何上看，解就是  与  的交点。当  时，  与  有两个交点，也就是有两个根  、  ：

而  ，此时  与  不相交：

也就是说，不引入虚数（因为  ，如果根据公式求解的话，就会引入虚数），是不会产生任何问题的。本来从几何上看，此时方程就不应该有解。

3.2.2 一元三次方程

形如：

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

如果  ，  ，可以得到方程：

从图像上看，  与  有三个交点的：

套用通解会得到：

邦贝利指出：从几何上看是有解的，但是必须通过虚数来求解！

邦贝利大胆地定义了复数的乘法（就是多项式乘法的合理延伸）：

最终通过复数以及复数乘法，邦贝利解出了此方程的三个实数解（这里不过多解释了，这不是本文的重点）。

这是一个巨大的思维飞跃，就好像刚才的纸片小人，困惑于“为什么有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁”？最终发现，需要通过更高维度才能真正解决这个问题。

邦贝利通过更高维度的复平面，解决了低维度的实数问题，真正的把复数带入了人们的视野。所以他被认为是复数的发现者。

3.3 傅立叶变换

复数进入纸片人的视野，大家花了很长的时间才真正接受它。接受它之后发现了非常多的应用，比如傅立叶变换。

还是回到之前纸片人的动画，对于纸片人，它只有上下左右的观念：

而三维空间的人却可以看到更多的方向、更多的内容：

傅立叶变换也可以说是同样的思路，  是低维度的函数：

对  进行傅立叶变换：

抛开其它细节不谈，最重要的是  ，乘以一个复数，就把  拉到更高维度的空间去审视，从而可以得到更多的细节，比如频域。

4 更高维度的数

自然会有这么一个问题，是否有更高维度的数？答案是有的，比如四元数。

威廉·哈密顿爵士（1805－1865）发现了四元数：

其中 、 、  就是对虚数维度的扩展。为此还成立了四元数推广委员会，提议学校像实数一样教授四元数。

四元数刚开始的时候引起了很大的争议，计算很复杂，但是用处不明显。用处不明显的原因或许是，当时面临的问题还不够复杂，还用不到比复数还高的维度。

到了现代，终于在电脑动画中、量子物理中找到了四元数更多的应用，只是这些应用对普通人距离太远了。

本文转载自马同学高等数学公众号