支持向量机原理讲解

Posted 2021-04-26 磐创AI

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作者 | Ray

编辑 | 磐石

出品 | 磐创AI技术团队

介绍

支持向量机(Support Vector Machine,以下简称SVM)，作为传统机器学习的一个非常重要的分类算法，它是一种通用的前馈网络类型，最早是由Vladimir N.Vapnik 和 Alexey Ya.Chervonenkis在1963年提出，目前的版本（soft margin）是Corinna Cortes 和 Vapnik在1993年提出，1995年发表。深度学习（2012）出现之前，如果不考虑集成学习的算法，不考虑特定的训练数据集，在分类算法中的表现SVM说是排第一估计是没有什么异议的。

SVM本来是一种线性分类和非线性分类都支持的二元分类算法，但经过演变，现在也支持多分类问题，也能应用到了回归问题。本篇文章重点讲解线性支持向量机的模型原理和目标函数优化原理。

目录

• 感知机模型

• 理解线性支持向量机

一、感知机模型

在讲解SVM模型之前，我们可以先简单了解感知机模型的原理，因为这两个模型有一些相同的地方。在二维平面中，感知机模型是去找到一条直线，尽可能地将两个不同类别的样本点分开。同理，在三维甚至更高维空间中，就是要去找到一个超平面。定义这个超平面为wTx+b=0（在二维平面中，就相当于直线w_1*x+w_1*y+b=0），而在超平面上方的点，定义为y=1，在超平面下方的点，定义为y=-1。而这样的超平面可能是不唯一的，那么感知机是怎么定期最优超平面呢？从感知机模型的目标函数中，我们了解到它是希望让所有误分类的点(定义为M)到超平面的距离和最小。其目标函数如下：

(注：加入y_i是因为点若在超平面下，w*x_i+b为负数，需要乘上对应的y)

当w和b成比例增加了之后，比如都扩大N倍，会发现，分子和分母都会同时扩大N倍，这对目标函数并不影响。因此，当我们将W扩大或缩小一定倍数使得，||w||=1，分子也会相应的扩大或缩小，这样，目标函数就能简化成以下形式：

这个思想将会应用到支持向量机的目标函数优化上，后文将会详细讲解。

二、理解线性支持向量机

2.1 线性支持向量机思想

正如上文所说，线性支持向量机的思想跟感知机的思想很相似。其思想也是对给定的训练样本，找到一个超平面去尽可能的分隔更多正反例。不同的是其选择最优的超平面是基于正反例离这个超平面尽可能远。

线性支持向量机模型

从上图可以发现，其实只要我们能保证距离超平面最近的那些点离超平面尽可能远，就能保证所有的正反例离这个超平面尽可能的远。因此，我们定义这些距离超平面最近的点为支持向量（如上图中虚线所穿过的点）。并且定义正负支持向量的距离为Margin。

2.2 函数间隔和几何间隔

对SVM思想有一定理解之后，设超平面为wTx+b=0。我们讲解一下函数间隔和几何间隔的区别。

给定一个样本x，|wTx+b|表示点x到超平面的距离。通过观察wTx+b和y是否同号，我们判断分类是否正确。所以函数间隔定义γ’为：

而函数间隔不能正常反应点到超平面的距离，因为当我们等比例扩大w和b的时候，函数间隔也会扩大相应的倍数。因此，我们引入几何间隔。

几何间隔就是在函数间隔的基础下，在分母上对w加上约束（这个约束有点像归一化），定义为γ：

其实参考点到直线的距离，我们可以发现几何间隔就是高维空间中点到超平面的距离，才能真正反映点到超平面的距离。

2.3 SVM目标函数及优化

根据SVM的思想，我们可以知道是要取最大化支持向量到超平面的几何间隔，所以目标函数可以表示为：

在感知机模型最后，我们知道当同时扩大w和b，分子分母都会同样扩大，对目标函数不影响，所以在这里我们将分子(支持向量到超平面的函数间隔)扩大或压缩等于1，则目标函数可以转化为：

但是上式并不是凸函数，不好求解，再进一步转化为：

 

上式就是一个凸函数，并且不等式约束为仿射函数，因此可以使用拉格朗日对偶去求解该问题。

根据拉格朗日乘子法，引入拉格朗日乘子α，且α≥0我们可以知道，先不考虑min，(2)问题等价于：

然后再考虑min，则有：

应用拉格朗日对偶性，通过求解对偶问题得到最优解，则对偶问题的目标函数为：

这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法。这样做的优点在于：

• 一是原问题的对偶问题往往更容易求解

• 二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。

 

从(4)中，我们可以先求目标函数对于w和b的极小值，再求拉格朗日乘子α的极大值。

首先，分别对w和b分别求偏导数，并令为0：

将(5)和(6)代入(4)得到：

对(7)取反得到：

只要我们可以求出(8)中极小化的α向量，那么我们就可以对应的得到w和b，而求解α需要使用SMO算法，由于该算法比较复杂，我们将在下一篇文章专门讲解。假设我们现在已经使用SMO算法得到了最优的α值，记为α_ *

再求b：

对于任一样本(x_s, y_s)有：

注意到任一样本都有y_s^2=1，则将右式的1用y_s^2代：

将(9)代入上式，可以得到：

这样，我们就能够求解得到线性支持向量机的目标函数的各个参数，进而得到最优的超平面，将正负样本分隔开。但是在上文中我们没有讲解求α向量的SMO算法，在下篇文章，将会详细讲解SMO算法，欢迎继续关注。

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