动态规划2 -------整数拆分

Posted 2021-04-18 AppleApple

突然想起来，关于算法方面的描述大部分人是不看的，没有必要搞模板把排版搞得花里胡哨的，直接写就是完事了。

题目描述：

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2

输出: 1

解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10

输出: 36

解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

题注：本题难点在于不知道会将一个数拆成几个数相加，如果只是两个数的话很好做，但是示例2已经说明不是两个数了，个人觉得这种题还是得往动态规划上去靠。目前为止，这就是我脑子里关于这道题理解的所有知识储备了， 看了题注之后就发现原来这道题是这么简单，这里做一下引用，结尾贴出来引用文章。

看完题解之后的分析：

鬼都知道这道题应该需要递归，那么如何层次把题目剥离出来，是非常关键的，

这道题抽象一下就是：

令：（图 1）

求：

（图 2）

当然这里ni是未知的，多少个数是不知道的，每个数的大小也是不知道的。昨天和胖子聊我对动态规划的感悟是，别管中间的过程变量，只要了解，过程中应该能得到的最优的值就行了，用动态规划的方法层层剥离才是我们需要掌握的正确方式。这样，我们剥第一层洋葱，我们可以把给定的n想象为两个数相乘，比如原来的n可以由5个数相加，并且这5个数相乘是可以得到最大的结果的，那么我们想让前四个数相乘，然后用最后一个数和前面的数相乘就行了吧，原理上是一样的，

• 我们将原问题抽象为 f(n)
• 那么 f(n) 等价于 max(1 * fn(n - 1), 2 * f(n - 2), ..., (n - 1) * f(1))。

核心在于这个max，同时不能忘了，有时候fn(n-1) <n-1，所以max需要比较一个list就是 max（{MAX， j*(i-j),  j*fn(i-j)}）

用数学公式表示就是：

（图 3）

子问题依旧可以转化为一个单独的问题去求解，这种嵌套式的递归结构时间复杂度为O(n^n),但是明显是可以使用引入辅助数组来让时间复杂度猛降的，这种数组在动态规划中经常用到，只不过我在学习的过程中总是习惯记他的形式，而忘记了数组设计本身存在的意义，数组是将递归转化为非递归的一种重要手段，因为递归的函数记忆性不高，使用数组来提高记忆力，最终就可以转化为求一个长度为n的数组，里面每一个序列对应的值都是序列值所能取得最大乘积的结果。仔细一看这个不是浩哥说的小青蛙变态爬楼梯版吗。爱了爱了。

递归方法引用python的了，下面的c++方法我自己撸。class Solution: def integerBreak(self, n: int) -> int: if n == 2: return 1 res = 0 for i in range(1, n): res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) return res

关于动态规划的问题，我想引用原作者的一句话，动态规划就是建表查表，

贴一下c++代码：

class Solution {public: int integerBreak(int n) { vector<int> dp(n+1, 0); int MAX; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; ++i) { MAX = 0; for (int j = 1; j < i; ++j) MAX = max({MAX, j*dp[i-j], j*(i-j)}); dp[i] = MAX; } return dp[n]; }};