动态规划解分割数组II[Arctic Fox]

Posted 2021-04-18 阿飞算法

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定义状态

dp[i]：数组的前i个数即nums[0,1...i-1],被切了K-1刀，分割成K个数组，每个数组的值变成最大值，分割后的最大和，如上图，当被分成K=3个部分时，第一部分的最大值为15，第二部分为9，第三部分10，每一部分的每个值都上升为当前部分的局部max，红色字体为新的值，累加后，求其最大值

转移方程

要想求dp[i],这是数组的前i个数即nums[0,1...i-1],被切了K-1WWW刀，分割成K个数组，每个数组的值变成最大值，分割后的最大和

• 求dp[i-1],表示数组的前i个数即nums[0,1…i-2]，第二部分是nums[i-1],也就是说 dp[i-1]+max(nums[i-1])*(i-(i-1))

• 求dp[i-2],表示数组的前i-1个数即nums[0,1…i-3]，第二部分是nums[i-2…i-1],也就是说 dp[i-2]+max(nums[i-2…i-1])*(i-(i-2))

• 求dp[i-3],表示数组的前i-2个数即nums[0,1…i-4]，第二部分是nums[i-3…i-1],也就是说 dp[i-3]+max(nums[i-3…i-1])*(i-(i-3))

• …

• 求dp[0],表示数组的前1个数即nums[0,0]，第二部分是nums[0…i-1],也就是说 dp[0]+max(nums[0…i-1])*(i-(0))

求上面的的最大值

可以推导出dp[i]=max(dp[i],dp[j]+(i-j)*MAX),其中MAX是nums[j...i-1]范围内的局部最大值，一旦找到最大值，该范围内的所有值都改成这个局部最大值MAX，其中0=<j<i

初始化边界

i-j如果大于K前面的部分已经被分割成了K部分了，后面nums[i...n]这部分将没有办法被涵盖进来，一个条件:i-j<=K

j>=0，这个没啥好说的

dp初始化的时候容量为n+1，要求的dp[n]表示数组的前n个数即nums[0,1...n],被切了K-1刀，分割成K个数组，每个数组的值变成最大值，分割后的最大和

编码技巧

• i从做到有遍历，j起始为i-1从右往左遍历

• 注意记录局部的最大值MAX

完整代码

    public int maxSumAfterPartitioning(int[] A, int K) {
        int n = A.length;
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            int j = i - 1;
            int max = dp[i];
            while ((i - j) <= K && j >= 0) {
                max = Math.max(max, A[j]);
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + (i - j) * max);
                j--;
            }
        }
        return dp[n];
    }

总结

• 动态规划的题目，需要想到一些基本的情况，可以像数学归纳法一样思考