动态规划第六篇：01背包问题（分割等和子集 + 最后一块石头的重量 II）

Posted 2021-06-25 Java架构师（公众号：毛奇志）

文章目录

• • • 416. 分割等和子集
    • • 问题描述
      • 思考：转换为01背包问题
      • 动态规划代码
    • 1049. 最后一块石头的重量 II

两个题目共同点：
物体有 重量 和 价值，背包有 总重量 和 总价值，这是对应的
每增加一个物体，背包总空间减少 weight[i]
每增加一个物体，背包总价值增加 value[i]

416. 分割等和子集

问题描述

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示（数据范围）：
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

思考：转换为01背包问题

背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

1. 背包的体积为sum / 2
2. 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
3. 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
4. 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动态规划代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 1 <= nums.length <= 200   物体个数最多为200个
        // 1 <= nums[i] <= 100
       int sum=0;
       int[] dp=new int[20001];// 一维dp数组
        // dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
       for (int i=0;i<nums.length;i++){
           sum = sum + nums[i];
       }
       if (sum %2 ==1) return false;
       int target = sum/2; //
        for (int i=0;i<nums.length;i++){  // nums数组长度就是物品数量
            for (int j=target;j>=nums[i];j--){  // 一定要大于等于nums[i] 否则减去重量，就是负数了
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);  // 不选择，选择（减去重量，加上价值）
            }
        }
        if (dp[target] == target)   return true;   // 为一半，返回true,否则返回为false
        return false;
    }
}

可以写成二维数组，更好理解，如下：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 1 <= nums.length <= 200   物体个数最多为200个
        // 1 <= nums[i] <= 100
        int sum = 0;
        int[][] dp = new int[nums.length + 1][20001];  // sum 最大为20000  下面就不用20000了，用 sum 和 target（sum的一半）
        // 一维dp数组 改为 二维dp数组 第二维度还是背包总容量+1，只是第一个维度改为物体数量+1
        // dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum = sum + nums[i];
        }

        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        // 二维数组要初始化第一行
        for (int j = target; j >= nums[0]; j--) {
            dp[0][j] = dp[0][j - nums[0]] + nums[0];
        }
        // 因为用到了 i-1 ,这里 i 从1开始，又因为这里 i 从1开始，所以要初始化第一行
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {  // 物体在数组里面，所以从0开始，[0,length-1] nums数组长度就是物品数量
            for (int j = target; j >= 0; j--) {  // 一定要大于等于nums[i] 否则减去重量，就是负数了
                if (j>=nums[i])  
                   dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);  // 不选择，选择（减去重量，加上价值）
                else 
                  dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        // i 范围 [0,length-1]  所以这里的第一个维度是 length-1
        if (dp[nums.length - 1][target] == target) return true;   // 为一半，返回true,否则返回为false
        return false;
    }
}

二维数组不管是正序j还是倒序j，这里不能这么写 for (int j=target;j>=nums[i];j--)
理由：会无法覆盖到dp数组左下角，如
输入：[1,5,10,6]
输出：false
预期结果：true

二维数组可以正序遍历

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 1 <= nums.length <= 200   物体个数最多为200个
        // 1 <= nums[i] <= 100
        int sum = 0;
        int[][] dp = new int[nums.length + 1][20001];  // sum 最大为20000  下面就不用20000了，用 sum 和 target（sum的一半）
        // 一维dp数组 改为 二维dp数组 第二维度还是背包总容量+1，只是第一个维度改为物体数量+1
        // dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum = sum + nums[i];
        }

        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        // 二维数组要初始化第一行
        for (int j = target; j >= nums[0]; j--) {
            dp[0][j] = dp[0][j - nums[0]] + nums[0];
        }
        // 因为用到了 i-1 ,这里 i 从1开始，又因为这里 i 从1开始，所以要初始化第一行
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {  // 物体在数组里面，所以从0开始，[0,length-1] nums数组长度就是物品数量
            for (int j = 0; j <= target; j++) {  // 一定要大于等于nums[i] 否则减去重量，就是负数了
                if (j>=nums[i]) 
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);  // 不选择，选择（减去重量，加上价值）
                else 
                 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
            }
        }
        // i 范围 [0,length-1]  所以这里的第一个维度是 length-1
        if (dp[nums.length - 1][target] == target) return true;   // 为一半，返回true,否则返回为false
        return false;
    }
}

1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例：
输入：[2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 1000

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int[] dp=new int[15001];
        int sum=0;
        for (int i=0;i<stones.length;i++)
            sum = sum + stones[i];
        int target = sum/2;
        for (int i=0;i<stones.length;i++){  // stones [0,length-1]
           for (int j=target;j>=stones[i];j--)
               dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
       }
       return sum-dp[target]-dp[target];
    }
}

可以改成二维数组

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int[][] dp = new int[stones.length + 1][15001];
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.length; i++)
            sum = sum + stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int j = target; j >= stones[0]; j--)
            dp[0][j] = Math.max(dp[0][j], dp[0][j - stones[0]] + stones[0]);

        for (int i = 1; i < stones.length; i++) {  // stones [0,length-1]
            for (int j = target; j >= 0; j--){
                if (j >= stones[i])
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return sum - dp[stones.length-1][target] - dp[stones.length-1][target];
    }
}

一维数组改成二维数组
1、新增第一个维度是 物体 数量
2、对于 i=0 初始化
3、第一个for循环 i 从1开始，第二个for循环可以反向，也可以正向
4、循环内部要if else 分别处理
5、最后返回，第一个维度为 物体数量 最后一个，第二个维度表示 容量 target