[416]. 分割等和子集

Posted 2022-08-23 Debroon

[416]. 分割等和子集

• • 题目
  • 算法设计：动态规划

 

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题目

• [416]. 分割等和子集

给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
 

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算法设计：动态规划

背包问题的实质是，成本-收益问题，好像凡是要花钱的事儿，总应该问个性价比。

背包模型：

• 变量：成本、收益
• 连接关系：最优解、方案数、可行性、···

我对背包问题定义的理解：

• 给定一个背包容量 target，再给定一个数组 nums (物品)，能否按一定方式选取 nums 中的元素得到 target。

1、背包容量 target 和物品 nums 的类型可能是数，也可能是字符串

2、target可能题目已经给出(显式)，也可能是需要我们从题目的信息中挖掘出来(非显式)

3、选取方式有常见的一下几种：每个元素选一次/每个元素选多次/选元素进行排列组

每个背包问题要求的也是不同的，按照所求问题分类，又可以分为以下几种：

1、最值问题：要求最大值/最小值

2、存在问题：是否存在…………，满足…………

3、组合问题：求所有满足……的排列组合

1、最值问题: dp[i] = max/min(dp[i], dp[i - nums] + 1) 或 dp[i] = max/min(dp[i], dp[i - num] + nums);
2、存在问题：dp[i] = dp[i] || dp[i - num];
3、组合问题：dp[i] += dp[i - num];

快来实践↘

• LeetCode 416. 分割等和子集

像数学的题目都有很多隐藏信息，我们能想出更好的算法，就是比别人知道更多的信息。

转换思路：

• 发现隐藏信息，对集合求和，得出隐藏信息 sum。
• 分割等和子集，得出隐藏信息 sum/2
• 核心思路：是否可以从输入数组中挑选出一些正整数，使得这些数的和 等于 整个数组元素的和的一半 sum/2
• 成本：物品中的体积，变成，数组里面的数
• 收益：装满背包的最大收益，变成，恰好等于装满背包
• 问题：有 $N$ 种物品，每种物品都有体积 $w_i$，每种物品仅有一件，可以选择放或不放，求解将哪些物品装入背包恰好装满。

设计状态：

• dp[i][j]：对前 i 个物品，背包容量为 j 时，若 x 为 true，则恰好装满；否则不能恰好装满。

设计 base case：

• dp[0][...] = false：没有物品，不能装满
• dp[...][0] = false：背包没有容量，不能装满

设计最终状态：

• dp[N][sum/2]

设计状态转移方程，最终状态从哪里来：

• 不装第 N 种物品，dp[N][sum/2] = dp[N-1][sum/2]，来自上一件物品的处理结果
• 装入第 N 种物品，dp[N][sum/2] = dp[N-1][sum/2] || dp[N-1][j-nums[i]]，如果装了第 i 种物品，就要看背包剩余容量 j-nums[i] 是否能恰好转满

因为 dp[i][j] 只从 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-w[i]] 而来，也就是说 [1....j] 这个数组是我们必须存的，但是 dp[1..i-1] 其实是不需要存的，只有 dp[i-1] 是有用的。

那可不可以设计一个一维数组 dp[1....j]，来代表 dp[i-1][1.....j] 呢? 可以的

• 具体压缩过程，请看《动态规划二》的 01 背包。

01 背包状态压缩：

bool canPartition(vector<int> &nums) 
    int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
    if (sum % 2 == 1)              // 如果是和为奇数显然无法分成两个等和子集
        return false;
    int target = sum / 2; 
    vector<int> dp(target + 1, 0); // dp[i]: 是否存在子集和为i
    dp[0] = true;                  // 初始化：target=0 不需要选择任何元素，所以是可以实现的
    
    for (int num : nums)
        for (int i = target; i >= num; i--)
            dp[i] = dp[i] || dp[i - num];
            
    return dp[target];