线性代数 行列式法求 Jordan标准型 的问题

Posted 2023-03-08

想问下这里为什么D3(λ)整除每个三阶子试？ 为什么D3(λ)可以整除D4(λ)？

因为D3(λ)定义为所有三阶子式的最大公因式  

第二个问题 比较复杂  具体可以看高等代数  证明思路如下：

1、证明经过初等变换的到的矩阵与原矩阵具有相同的行列式因子（分三种变换可证其任意阶子式可以整除  再由初等变换的可逆性可证相等 

2、证明拉姆达矩阵初等变换可以化为标准形形式，其中d（i）|d（i+1）  首一（这个首先要证明已下引理）

 

 

 

这个定理也是主要利用初等变换的第三种变换倍数为多项式除法的商得到左上角元素为其余数来证明               接着再进行变换将第一行第一列其他元素变为0  从而利用分块后的小矩阵归纳法得来如下图

 

 

 

 

再对A1进行变换归纳   因为初等变换是线性组合  所以变换后的仍可以被b（）整除）

3、可以证明上述矩阵k级子式（只有行列坐标完全相同子式不为0）的最大公因式为d1*……dk

(因为易知左上角的K 阶子式是相对次数最小的，其余的子式都是他的倍数)

4、再有上述矩阵与原拉姆达矩阵等价，而等价矩阵因具有相同的行列式因子从而Dk相同

5、再由可知D（k+1）/D(k)=d(k+1)

参考技术A 1、题中D3(λ)是A(λ)的3阶行列式因子，根据“行列式因子”的定义，即D3(λ)是A(λ)的全部k阶子式的首一最大公因式，所以，D3(λ)一定可以整除A(λ)的所有3阶子式。
2、参考“不变因子”的定义，d4(λ)=D4(^)/D3(λ），d4(λ)就是A(λ)的不变因子，是一个首一多项式，所以D3(λ)一定可以整除D4(λ)。追问

啊 我就是对这晦涩的定义看不明白

我看了这个 http://wenku.baidu.com/view/0ff282ec4afe04a1b071deba

也就是说 Dk(λ)的确定要看看 子式行列式的值才能确定 对吧？

线性代数Jordan标准型问题

若存在T，是T-1AT=D
D是这样一个矩阵，主对角元上元素任意（当然这是受限于A的）主对角元旁边上方的次对角线上的元素是0或1，那是不是D就是它的Jordan标准型

是请给出证明不是请给出反例
D是这样一个矩阵，主对角元上元素任意（当然这是受限于A的）主对角元旁边上方的次对角线上的元素是0或1，其他地方为零

我知道求Jordan是用初等因子求，但是我是问我这样的做法对吗

反例请不要直接举D= 1 0 0
0 2 1
0 0 3
这样的矩阵，请给我A和T

除了你描述的元素外，其余的元素都是零的话，这个D一定是A的Jordan标准型。证明需要行列式因子，不变因子，初等因子概念，如果你知道这些概念，证明就很容易，如果你不知道，三言两语也说不明白。追问

我知道这些概念 若T-1AT=D P-1AP=J（Jordan）则D J相似 这几个概念的是相似不变
但是怎么证D=J呢

追答

不能证明D=J，因为那个J不是唯一的。我给你说一个结论吧，两个矩阵相似当且仅当两个矩阵的特征矩阵等价。两个矩阵等价当且仅当它们有相同的初等因子，Jordan标准型是由初等因子决定的。这些是Jordan标准型理论的根本。

参考技术A 你的例子不是已经说明问题了吗
A=D, T=I
如果你一定要别的例子，自己取一个T，然后A=TDT^-1，如果连这个都不会那就不要折腾Jordan标准型了本回答被提问者采纳