桶排序计数排序

Posted 2021-04-13 想不到一个好的ID

桶排序（Bucket sort）

桶排序，顾名思义，会用到“桶”，核心思想是将要排序的数据分到几个有序的桶里，每个桶里的数据再单独进行排序。桶内排完序之后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。

桶排序的时间复杂度为什么是O(n)呢？

如果要排序的数据有n个，我们把它们均匀地划分到m个桶内，每个桶里就有k=n/m个元素。每个桶内部使用快速排序，时间复杂度为O(k * logk)。m个桶排序的时间复杂度就是O(m * k * logk)，因为k=n/m，所以整个桶排序的时间复杂度就是O(n*log(n/m))。当桶的个数m接近数据个数n时， log(n/m)就是一个非常小的常量，这个时候桶排序的时间复杂度接近O(n)。

桶排序看起来很优秀，那它是不是可以替代我们之前讲的排序算法呢？

答案当然是否定的。实际上，桶排序对要排序数据的要求是非常苛刻的。
首先，要排序的数据需要很容易就能划分成m个桶，并且，桶与桶之间有着天然的大小顺序。这样每个桶内的数据都排序完之后，桶与桶之间的数据不需要再进行排序。

其次，数据在各个桶之间的分布是比较均匀的。如果数据经过桶的划分之后，有些桶里的数据非常多，有些非常少，很不平均，那桶内数据排序的时间复杂度就不是常量级了。在极端情况下，如果数据都被划分到一个桶里，那就退化为O(nlogn)的排序算法了。

桶排序比较适合用在外部排序中。所谓的外部排序就是数据存储在外部磁盘中，数据量比较大，内存有限，无法将数据全部加载到内存中。

比如说我们有10GB的订单数据，我们希望按订单金额（假设金额都是正整数）进行排序，但是我们的内存有限，只有几百MB，没办法一次性把10GB的数据都加载到内存中。这个时候该怎么办呢？

如何借助桶排序的处理思想来解决这个问题。

我们可以先扫描一遍文件，看订单金额所处的数据范围。假设经过扫描之后我们得到，订单金额最小是1元，最大是10万元。我们将所有订单根据金额划分到100个桶里，第一个桶我们存储金额在1元到1000元之内的订单，第二桶存储金额在1001元到2000元之内的订单，以此类推。每一个桶对应一个文件，并且按照金额范围的大小顺序编号命名（00， 01， 02…99）。

理想的情况下，如果订单金额在1到10万之间均匀分布，那订单会被均匀划分到100个文件中，每个小文件中存储大约100MB的订单数据，我们就可以将这100个小文件依次放到内存中，用快排来排序。等所有文件都排好序之后，我们只需要按照文件编号，从小到大依次读取每个小文件中的订单数据，并将其写入到一个文件中，那这个文件中存储的就是按照金额从小到大排序的订单数据了。

不过，你可能也发现了，订单按照金额在1元到10万元之间并不一定是均匀分布的 ，所以10GB订单数据是无法均匀地被划分到100个文件中的。有可能某个金额区间的数据特别多，划分之后对应的文件就会很大，没法一次性读入内存。这又该怎么办呢？

针对这些划分之后还是比较大的文件，我们可以继续划分，比如，订单金额在1元到1000元之间的比较多，我们就将这个区间继续划分为10个小区间， 1元到100元， 101元到200元， 201元到300元…901元到1000元。如果划分之后， 101元到200元之间的订单还是太多，无法一次性读入内存，那就继续再划分，直到所有的文件都能读入内存为止。

计数排序（Counting sort）

计数排序其实是桶排序的一种特殊情况。当要排序的n个数据，所处的范围并不大的时候，比如最大值是k，我们就可以把数据划分成k个桶。每个桶内的数据值都是相同的，省掉了桶内排序的时间。

我们都经历过高考，高考查分数系统你还记得吗？我们查分数的时候，系统会显示我们的成绩以及所在省的排名。如果你所在的省有50万考生，如何通过成绩快速排序得出名次呢？考生的满分是900分，最小是0分，这个数据的范围很小，所以我们可以分成901个桶，对应分数从0分到900分。根据考生的成绩，我们将这50万考生划分到这901个桶里。桶内的数据都是分数相同的考生，所以并不需要再进行排序。我们只需要依次扫描每个桶，将桶内的考生依次输出到一个数组中，就实现了50万考生的排序。因为只涉及扫描遍历操作，所以时间复杂度是O(n)。计数排序的算法思想就是这么简单，跟桶排序非常类似，只是桶的大小粒度不一样。

不过，为什么这个排序算法叫“计数”排序呢？“计数”的含义来自哪里呢？

还拿考生那个例子来解释。为了方便说明，对数据规模做了简化。假设只有8个考生，分数在0到5分之间。这8个考生的成绩我们放在一个数组A[8]中，它们分别是：2，5，3，0，2，3，0，3。考生的成绩从0到5分，我们使用大小为6的数组C[6]表示桶，其中下标对应分数。不过，C[6]内存储的并不是考生，而是对应的考生个数。像我刚刚举的那个例子，我们只需要遍历一遍考生分数，就可以得到C[6]的值。

从图中可以看出，分数为3分的考生有3个，小于3分的考生有4个，所以，成绩为3分的考生在排序之后的有序数组R[8]中，会保存下标4，5，6的位置。

那我们如何快速计算出，每个分数的考生在有序数组中对应的存储位置呢？这个处理方法非常巧妙，很不容易想到。思路是这样的：我们对C[6]数组顺序求和，C[6]存储的数据就变成了下面这样子。C[k]里存储小于等于分数k的考生个数。

我们从后到前依次扫描数组A。比如，当扫描到3时，我们可以从数组C中取出下标为3的值7，也就是说，到目前为止，包括自己在内，分数小于等于3的考生有7个，也就是说3是数组R中的第7个元素（也就是数组R中下标为6的位置）。当3放入到数组R中后，小于等于3的元素就只剩下了6个了，所以相应的C[3]要减1，变成6。

以此类推，当我们扫描到第2个分数为3的考生的时候，就会把它放入数组R中的第6个元素的位置（也就是下标为5的位置）。当我们扫描完整个数组A后，数组R内的数据就是按照分数从小到大有序排列的了。

// 计数排序，a是数组，n是数组大小。假设数组中存储的都是非负整数。public void countingSort(int[] a, int n) { if (n <= 1) return; // 查找数组中数据的范围  int max = a[0];  for (int i = 1; i < n; ++i) {  if (max < a[i]) { max = a[i];  } }  int[] c = new int[max + 1];  // 申请一个计数数组c，下标大小[0,max]  for (int i = 0; i <= max; ++i)  { c[i] = 0; }  // 计算每个元素的个数，放入c中  for (int i = 0; i < n; ++i)  { c[a[i]]++; }  // 依次累加  for (int i = 1; i <= max; ++i) { c[i] = c[i-1] + c[i]; }  // 临时数组r，存储排序之后的结果  int[] r = new int[n];  // 计算排序的关键步骤，有点难理解  for (int i = n - 1; i >= 0; --i)  { int index = c[a[i]]-1;  r[index] = a[i];  c[a[i]]--; }  // 将结果拷贝给a数组  for (int i = 0; i < n; ++i)  { a[i] = r[i]; }}

计数排序只能用在数据范围不大的场景中，如果数据范围k比要排序的数据n大很多，就不适合用计数排序了。而且，计数排序只能给非负整数排序，如果要排序的数据是其他类型的，要将其在不改变相对大小的情况下，转化为非负整数。比如，还是拿考生这个例子。如果考生成绩精确到小数后一位，我们就需要将所有的分数都先乘以10，转化成整数，然后再放到9010个桶内。再比如，如果要排序的数据中有负数，数据的范围是[-1000, 1000]，那我们就需要先对每个数据都加1000，转化成非负整数。

基数排序（Radix sort）

假设我们有10万个手机号码，希望将这10万个手机号码从小到大排序，你有什么比较快速的排序方法呢？

我们之前讲的快排，时间复杂度可以做到O(nlogn)，还有更高效的排序算法吗？桶排序、计数排序能派上用场吗？手机号码有11位，范围太大，显然不适合用这两种排序算法。

针对这个排序问题，有没有时间复杂度是O(n)的算法呢？

基数排序。刚刚这个问题里有这样的规律：假设要比较两个手机号码a，b的大小，如果在前面几位中，a手机号码已经比b手机号码大了，那后面的几位就不用看了。借助稳定排序算法，这里有一个巧妙的实现思路。先按照最后一位来排序手机号码，然后，再按照倒数第二位重新排序，以此类推，最后按照第一位重新排序。经过11次排序之后，手机号码就都有序了。手机号码稍微有点长，画图比较不容易看清楚，用字符串排序的例子，画了一张基数排序的过程分解图。

注意，这里按照每位来排序的排序算法要是稳定的，否则这个实现思路就是不正确的。

因为如果是非稳定排序算法，那最后一次排序只会考虑最高位的大小顺序，完全不管其他位的大小关系，那么低位的排序就完全没有意义了。

根据每一位来排序，我们可以用刚讲过的桶排序或者计数排序，它们的时间复杂度可以做到O(n)。如果要排序的数据有k位，那我们就需要k次桶排序或者计数排序，总的时间复杂度是O(k*n)。当k不大的时候，比如手机号码排序的例子，k最大就是11，所以基数排序的时间复杂度就近似于O(n)。

实际上，有时候要排序的数据并不都是等长的，比如我们排序牛津字典中的 万个英文单词，最短的只有 个字母，最长的我特意去查了下，有个字母，中文翻译是尘肺病。

对于这种不等长的数据，基数排序还适用吗？实际上，我们可以把所有的单词补齐到相同长度，位数不够的可以在后面补“0”，因为根据ASCII值，所有字母都大于“0”，所以补“0”不会影响到原有的大小顺序。这样就可以继续用基数排序了。

基数排序对要排序的数据是有要求的，需要可以分割出独立的“位”来比较，而且位之间有递进的关系，如果a数据的高位比b数据大，那剩下的低位就不用比较了。除此之外，每一位的数据范围不能太大，要可以用线性排序算法来排序，否则，基数排序的时间复杂度就无法做到O(n)了。

  
如何优化快速排序？

我们先来看下，为什么最坏情况下快速排序的时间复杂度是O(n2)呢？我们前面讲过，如果数据原来就是有序的或者接近有序的，每次分区点都选择最后一个数据，那快速排序算法就会变得非常糟糕，时间复杂度就会退化为O(n2)。实际上，这种O(n2)时间复杂度出现的主要原因还是因为我们分区点选的不够合理。那什么样的分区点是好的分区点呢？或者说如何来选择分区点呢？

最理想的分区点是：被分区点分开的两个分区中，数据的数量差不多。如果很粗暴地直接选择第一个或者最后一个数据作为分区点，不考虑数据的特点，肯定会出现之前讲的那样，在某些情况下，排序的最坏情况时间复杂度是O(n2)。为了提高排序算法的性能，我们也要尽可能地让每次分区都比较平均。

两个比较常用、比较简单的分区算法

1.三数取中法我们从区间的首、尾、中间，分别取出一个数，然后对比大小，取这3个数的中间值作为分区点。这样每间隔某个固定的长度，取数据出来比较，将中间值作为分区点的分区算法，肯定要比单纯取某一个数据更好。但是，如果要排序的数组比较大，那“三数取中”可能就不够了，可能要“五数取中”或者“十数取中”。

2.随机法随机法就是每次从要排序的区间中，随机选择一个元素作为分区点。这种方法并不能保证每次分区点都选的比较好，但是从概率的角度来看，也不大可能会出现每次分区点都选的很差的情况，所以平均情况下，这样选的分区点是比较好的。时间复杂度退化为最糟糕的O(n2)的情况，出现的可能性不大。

快速排序是用递归来实现的。递归要警惕堆栈溢出。为了避免快速排序里，递归过深而堆栈过小，导致堆栈溢出，我们有两种解决办法：第一种是限制递归深度。一旦递归过深，超过了我们事先设定的阈值，就停止递归。第二种是通过在堆上模拟实现一个函数调用栈，手动模拟递归压栈、出栈的过程，这样就没有了系统栈大小的限制。