二分查找典型例题分析

Posted 2021-04-10 Coder101

二分查找基本知识

• 定义

• 二分搜索也称折半搜索，是一种在有序数组中查找某一个特定元素的搜索算法

• 特点

• 看似简单，写对很难

• 变形很多

• 面试中常用来考察code能力
  

• 运用前提

• 数组必须是排好序的

• 输入并不一定是数组，也可能是给定一个区间的起始和终止的位置
  

• 优点

• 时间复杂度为O(logn)，是一种非常高效的搜索
  

• 缺点

• 要求待查找的数组或区间是排好序的

• 若要求对数组进行动态地删除和插入操作并完成查找，平均复杂度会变为O(n)

• 采取自平衡的二叉查找树

• 可在O(nlogn)的时间内用给定的数据构建出一颗二叉查找树

• 可在O(logn)的时间内对数据进行搜索

• 可在O(logn)的时间内完成删除和插入的操作
  

• 应用

• 输入的数组或区间是有序的，且不会经常变动，要求从中找出一个满足条件的元素

核心思想

• 确定搜索的范围和区间

• 取中间的数判断是否满足条件

• 如果不满足条件，判定应该往哪个半边继续进行搜索

题目分类

• 基本概念

• leetcode 704. 二分查找

• 找确定的边界

• leetcode 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

• 找模糊的边界

• leetcode 278. 第一个错误的版本

• 旋转数组查找

• leetcode 33. 搜索旋转排序

二分查找代码实现

leetcode 704. 二分查找，这里就不分析了，直接上代码。

class Solution { public int search(int[] nums, int target) { if (nums.length == 0) return -1;  int low = 0, high = nums.length - 1; while (low <= high){ int mid = low + (high - low)/2; if (nums[mid] == target) return mid; else if (nums[mid] < target) low = mid + 1; else high = mid - 1; }
 return -1; }}

二分查找（找确定的边界）

leetcode 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目：

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

示例1:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8输出: [3,4]

示例2:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6输出: [-1,-1]

分析：

元素的第一个位置（上边界），这个位置要满足：

• 元素值等于目标值

• 该位置左边的一个数不是目标值

• 左边有数，那么该数必须小于目标值

• 左边没有数，那么该元素是数组的第一个元素

元素的最后一个位置（下边界），这个位置要满足：

• 元素值等于目标值

• 该位置右边的一个数不是目标值

• 右边有数，那么该数必须大于目标值

• 右边没有数，那么该元素是数组的最后一个元素

代码：

class Solution { public int[] searchRange(int[] nums, int target) { int[] res = {-1, -1}; if (nums.length == 0) return res; res[0] = searchLowerRange(nums, target); res[1] = searchUpperRange(nums, target);
 return res; }
 public int searchLowerRange(int[] nums, int target){ int low = 0, high = nums.length - 1; while (low <= high){ int mid = low + (high - low)/2;            if (nums[mid] == target){  if (mid == 0 || nums[mid - 1] < target) return mid; else high = mid - 1; } else if (nums[mid] < target){ low = mid + 1; } else { high = mid - 1; } }
 return -1; }
 public int searchUpperRange(int[] nums, int target){ int low = 0, high = nums.length - 1; while (low <= high){ int mid = low + (high - low)/2; if (nums[mid] == target){ if (mid == nums.length - 1 || nums[mid + 1] > target) return mid; else low = mid + 1; } else if (nums[mid] < target){ low = mid + 1; } else { high = mid - 1; } }
 return -1; }}

二分查找（找模糊的边界）

leetcode 278. 第一个错误的版本

题目：

你是产品经理，目前正在带领一个团队开发新的产品。不幸的是，你的产品的最新版本没有通过质量检测。由于每个版本都是基于之前的版本开发的，所以错误的版本之后的所有版本都是错的。

假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。

你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

示例:

给定 n = 5，并且 version = 4 是第一个错误的版本。
调用 isBadVersion(3) -> false调用 isBadVersion(5) -> true调用 isBadVersion(4) -> true
所以，4 是第一个错误的版本。 

分析：

第一个错误的版本，需要满足以下条件：

• 该版本是错误的版本
  

• 该版本的前一个版本是正确的版本

• 该版本是第一个版本（version = 1），那么该版本就是第一个错误的版本

• 该版本不是第一个版本（version > 1），那么该版本的前一个版本必须是正确的版本
  

代码：

/* The isBadVersion API is defined in the parent class VersionControl. boolean isBadVersion(int version); */
public class Solution extends VersionControl { public int firstBadVersion(int n) { int low = 1, high = n; while (low <= high){ int mid = low + (high - low)/2; if (isBadVersion(mid) == true && (mid == 1 || isBadVersion(mid - 1) == false)) return mid; else if (isBadVersion(mid) == false) low = mid + 1; else high = mid - 1; }
 return -1; }}

二分查找（旋转数组查找）

leetcode 33. 搜索旋转排序数组

题目：

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。

搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。

你可以假设数组中不存在重复的元素。你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

示例 1:

输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0输出: 4

示例 2:

输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3输出: -1

分析：

其实旋转过的排序数组也是由两部分排序数组组成的，用二分的思想来看，不管怎么去拆分这个数组，要么是左半部分是顺序数组，要么是右半部分是顺序数组。

在顺序数组中，很容易知道目标值target是否在这个区间里面。知道目标值target在这个区间里面，则在这个区间里面查找；反之在另外一个区间查找。

那怎么判断左半部分是顺序数组？只需要判断nums[low]和nums[mid]

• nums[low]<=nums[high]

综上，思路如下：

• nums[mid]等于target，返回结果

• nums[mid]不等于target

• 左半部分是顺序

• target在左半部分（nums[low] <= target < nums[mid]）

• 反之，target在右半部分
  

• 右半部分是顺序

• target在右半部分（nums[mid] < target <= nums[high]）

• 反之，target在左半部分

代码：

class Solution { public int search(int[] nums, int target) { if (nums.length == 0) return -1; int low = 0, high = nums.length - 1;
 while (low <= high){ int mid = low + (high - low)/2; if (nums[mid] == target) return mid; if (nums[low] <= nums[mid]){ //左边是顺序 if (nums[low] <= target && nums[mid] > target) high = mid - 1; else  low = mid + 1; }else { //右边是顺序 if (nums[mid] < target && nums[high] >= target) low = mid + 1; else high = mid - 1; } }
 return -1; }}