算法笔记-红黑树

Posted 2021-04-04 java程序员笔记

上一篇总结中二叉查找树支持快速查找，删除以及插入操作，时间复杂度与树的高度成正比，理想情况下是 O(logn)。

但是在频繁插入删除的情况下，树的高度可能就大于 log2|n。极端情况下，树可以退化成链表这种结构，那么相应的操作效率也就下降了。

针对这种情况，为了保持二叉查找树的执行效率高效，出现了平衡二叉查找树，其中最广为人知的就是红黑树。

什么是平衡二叉查找树

二叉树中任意节点的左右子树的高度相差不超过 1。完全二叉树，满二叉树都是平衡二叉树。 举例如下：

平衡二叉查找树不仅满足平衡二叉树的特点，也满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树就是 AVL树。

但是，很多平衡二叉查找树并没有严格的遵守平衡二叉树的定义。比如红黑树，从根节点到叶子节点的最长路径可能是最短路径的二倍。

对于平衡二叉查找树的理解，王争老师给出了下面的解释：平衡二叉查找树的出现，就是为了解决二叉查找树频繁删除插入操作，出现时间复杂度退化的问题，所以，平衡二叉查找树只要保证树看起来相对平衡，相对对称，数的高度不大于 log2|n 就可以称之为平衡二叉查找树。如此，查找删除以及插入操作是效率就会高一些。

定义一个平衡二叉查找树

Splay Tree(伸展树)，Treap(树堆) 都是平衡二叉查找树，接下来总结一个常见的平衡二叉查找树：红黑树。

红黑树是一种不严格的平衡二叉查找树，在树分为红色节点和黑色节点。红黑树还需要满足以下几点： 1：根节点是黑色的。 2：每个叶子节点都是黑色的空节点，叶子节点不存值。 3：任何相邻的节点都不能是红色节点，红色节点被黑色节点隔开。 4：每个节点，从该节点到可达节点经过的黑色节点个数相同。 图例如下：

红黑树高度分析

首先，将红黑树中的红色节点去除，那么它们的子节点就没有父节点了，我们将这些子节点指向它们的父节点。之前的二叉树就变成了四叉树，图例如下：

从四叉树中取出两个节点，放在叶子节点位置，这棵树就变成了完全二叉树，它的高度就是近似 log2|n。四叉树要比这个完全二叉树低，所以四叉树的高度肯定不会高于 log2|n。

现在，将红色节点加到四叉树中。由于红色节点必须被黑色节点隔开，所以一个红色节点最少对应一个黑色节点。那么单纯只有黑色节点的二叉树高度不会高于 log2|n，那么加入红色节点后，树的高度不会高于 2log2|n。所以，红黑树的高度近似 2log2|n。

对比高度平衡的 AVL树的高度，红黑树的高度顶多是它的二倍，性能上下降的不多。实际中，红黑树的效率要高于 AVL树。

总结

红黑树是一种最难掌握的数据结构，更难的是它的实现。但是王争老师一直给我们普及一种观念：我们学习数据结构和算法，主要是学习它的特性，由来以及实适用的场景和它能解决的问题。对于红黑树，只要掌握了这些就足够了。

本文创作灵感来源于 极客时间 王争老师的《数据结构与算法之美》课程，通过课后反思以及借鉴各位学友的发言总结，现整理出自己的知识架构，以便日后温故知新，查漏补缺。

初入算法学习，必是步履蹒跚，一路磕磕绊绊跌跌撞撞。看不懂别慌，也别忙着总结，先读五遍文章先，无他，唯手熟尔~ 与诸君共勉