CSP2019 题解

Posted 2021-08-24 Lonely_233

D1T1

显然把所有排列列出来，不难发现答案的第 \\(i\\) 位只与 \\(k\\) 二进制拆分后的 \\(i\\) 位是 0/1 和 \\(i-1\\) 位是 0/1 有关。

那么把 \\(k\\) 分解，记分解后第 \\(i\\) 位为 \\(a_i\\)，那么答案第 \\(i\\) 位为 a[i-1]?!a[i]:a[i]。

D1T2

先考虑链如何做，是个经典问题，记 \\(f_u\\) 表示 \\(1~u\\) 中的新增的匹配数量。

显然 \\(f_u\\) 可以从上一次匹配的左括号位置转移，求答案就记个前缀和就好了。

考虑如何扩展到树上，记 \\(f_u\\) 表示根到 \\(u\\) 这条路径上新增的匹配数量，\\(dp_u\\) 表示根到 \\(u\\) 的匹配数量。

那么 \\(dp_u=dp_{fa_u}+f_u\\)。

我们维护一个栈，每次搜到一个左括号就把他压到栈里，\\(f_u=0\\)。

当搜到右括号时，如果栈是空的，那么 \\(f_u=0\\)。

否则，\\(f_u=f_{fa_{stk_{tp}}}+1\\)，这个转移的意思就是到 \\(u\\) 的新增匹配，要么是由栈顶父亲那里的匹配加上 \\([stk_{tp},u]\\) 这一对括号构成的，要么是 \\([stk_{tp},u]\\) 这对括号。

注意到回溯的时候栈里存的可能不是 \\([1,u]\\) 里已经匹配的，那么我们每次退栈的时候记录退栈的元素，搜完子树后再入栈。

代码

D1T3

D2T1

D2T2

D2T3

首先不难发现一个 dp ：记 \\(dp_{i,j}\\) 表示划分了 \\(i\\) 个数，上一次划分位置是 \\(j\\) 的最小值。

记个前缀和转移，\\(dp_{i,j}=\\displaystyle \\min_{sum_i-sum_k \\leq sum_j-sum_i} \\{dp_{k,i}+(sum_j-sum_i)^2\\}\\)，拿到 36 分。

考虑优化，固定 \\(i\\)，发现 \\(j\\) 变化的时候， \\(k\\) 也在随着变化。

那么维护一下 \\(dp_{k,i}\\) 的最小值就好了，拿到 64 分。

继续优化，考虑这么一个式子 \\((a+b)^2 \\geq a^2+b^2\\)。

从这个式子我们得知尽量多分几段可以使答案更小。

所以我们每次只要找到第一个能转移的 \\(k\\) 进行转移就行了，记转移点为 \\(f_i\\)。

那么我们要求的就是最大的 \\(k\\) 使得 \\(sum_i-sum_k \\geq sum_k-sum_{f_k}\\)。

移项一下，得到 \\(sum_i \\geq 2 \\times sum_k-sum_{f_k}\\)。

可以通过暴力打出决策点，发现 \\(f_i\\) 是单调的，即假如有 \\(t<f_i\\)，那么 \\(t\\) 绝对不是 \\(f_{i+1}\\)。

所以这个用单调队列维护一下即可。

不想写高精度所以用了 __int128。

代码

D2T3