牛客剑指offer 剪绳子

Posted 2021-08-02 *^O^*—*^O^*

文章目录

• • 题目描述
  • 解题思路
  • 代码示例

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1，m<=n），每段绳子的长度记为k[1],…,k[m]。请问k[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

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解题思路

一个整数先把他分成两部分，x+y=n（假设x>=y并且x-y<=1,也就是说x和y非常接近）那么乘积是xy。然后我们再把这两部分的差放大(x+1)+(y-1)=n(假设x>=y)；他们的乘积是（x+1）(y-1)=xy-(x-y)-1，很明显是小于xy的，所以我们得出结论，如果把整数n分为两部分，那么这两部分的值相差越小乘积越大。
同理还可以证明如果分成3部分，4部分……也是相差越小乘积会越大。

根据上面的证明，如果我们把长度为n的绳子分为x段，则每段只有在长度相等的时候乘积最大，那么每段的长度是n/x。所以他们的乘积是(n/x)^x。我们来对这个函数求导

通过对函数求导我们发现，当x=n/e的时候，也就是每段绳子的长度是n/x=n/(n/e)=e的时候乘积最大。我们知道e=2.718281828459。而题中我们的绳子剪的长度都是整数，所以不可能取e，我们只能取接近e的值，也就是3的时候乘积最大。

但也有例外，当n<=4的时候会有特殊情况，因为22>13。明白了这点代码就容易多了，如果n大于4，我们不停的把绳子减去3，

代码示例

public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if (target == 2 || target == 3)
            return target - 1;
        int res = 1;//累计3的个数
        while (target > 4) {
            //如果target大于4，我们不停的让他减去3
            target = target - 3;
            //计算每段的乘积
            res = res * 3;
        }
        return target * res;
    }
}