高等数学 —— 二元函数极值存在定理与拉格朗日乘数法求最值

Posted 2021-07-19 九死九歌

极值存在定理

  对于二元函数$f(x,y)$，在$P(x_0,y_0)$要有极值存在，首先得保证$f_x(x_0,y_0)=0f_y(x_0,y_0)=0$，也就是说这是极值存在的必要条件。

  除了这个条件以外，要想$P(x_0,y_0)$存在极值，还要满足一个条件即可。

  令$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=A=f_{yy}(x_0,y_0)$

  对于极值是否存在，在以下几种情况下各不相同：

• 极值存在判断：
  • $AC-B^2>0$：极值存在，$A>0$为极小值，$A<0$为极大值。
  • $AC-B^2<0$：极值不存在
  • $AC-B^2<0$：机制可能存在可能不存在

  若存在极值，则极值为$f(x_0,y_0)$

拉格朗日乘数法

  这个就是用来求在满足$\phi (x,y)=0$条件下，$f(x,y)$的最值。

  令$L=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

  然后令$L_x=0,L_y=0$，解出来$x=x_0,y=y_0$，$\lambda$不用管暂且，然后在满足$\phi (x,y)=0$条件下，$f(x,y)$的最值就是$f(x_0,y_0)$

  对于更高元的函数，拉格朗日乘数法依然有效，$L=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$，令L对x y z三个参数的偏导都为0，解得x₀ y₀ z₀，最值为$f(x_0,y_0,z_0)$，以此类推。但切记，上面那个极值存在定理只能应用于二元函数范围。